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K.1).-
Par ordenado L).-Teoremas
básicos de unión e intersección L.1).-Resumen
de teoremas básicos de conjuntos M.1).-
Naturales. M.2).-
Racionales e irracionales M.3).-
Reales N.1).-
Consideraciones básicas N.2).-Segmento
inicial N.3).-Conjunto
finito N.4).-Numerable
y contable N.5).-
Teoremas importantes de números
K).- Producto Cartesiano. Para definir el Producto
cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B primero definiremos lo que es
un par ordenado: Par
Ordenado:
Un par ordenado es un conjunto de dos elementos ordenados de acuerdo a
como aparecen. Se representara con paréntesis y a los elementos se les
denominara componentes: (a,
b) representa el par ordenado cuya primera componente es a y b es la segunda
componente. Debemos
observar que para que dos pares ordenados sean iguales sus componentes deben
serlo: El
producto cartesiano
de dos conjuntos A y B es el conjunto de
todos los pares ordenados donde aÎA
y bÎB. Esto se representara como sigue:
Ejemplo: Sea A={1,2,3} y B={1,2} el producto cartesiano será: AxB={ (1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) }
L).- TEOREMAS BÁSICOS DE UNIÓN E INTERSECCIÓN:
Los conjuntos cuentan con
algunas operaciones que son análogas al
álgebra y que pueden ser demostradas. Sean A,B,C cualquier
conjunto entonces:
TEOREMA:
Las operaciones con conjuntos nos van a representar
conjuntos en general. A continuación
se muestra un resumen de las propiedades de los conjuntos 1.-
A È
B = B È
A 2.-
A Ç
B = B Ç
A 3.-
(A È
B) È
C = A È
(B È
C) 4.-
(A Ç
B) Ç
C = A Ç
(B Ç
C) 5.-
A È
Æ
= A 6.-
A Ç
Æ
= Æ 7.- A È
U=
U 8.- A Ç
U = A 9.- A È
(B Ç
C) = (A È
B) Ç
(A È
C) 10.-
A Ç
(B È
C) = (A Ç
B) È
(A Ç
C) 11.-
A È
A¢
= U 12.-
A Ç
A¢
= Æ 13.-
(A È
B)¢
= A¢
Ç
B¢ 14.-
(A Ç
B)¢
= A¢
È
B¢ 15.-
A È
A = A Ç
A = A 16.-
(A¢)¢
= A 17.-
A - B = A Ç
B¢ 18.-
(A - B) - C = A - (B È
C) 19.-
Si A Ç
B = Æ,
entonces (A È
B) - B = A 20.-
A - (B È
C) = (A - B) Ç
(A - C) M).- CONJUNTOS DE NÚMEROS
Dentro de los conjuntos más importantes destacan
los siguientes: El conjunto de números
naturales, cuya representación es la letra
N
= {0,1,2,3,4,...} El conjunto de los números enteros
Z = {... –3,-2,-1,0,1,2,3,...} El conjunto de
los números racionales
formado por el cociente de dos números enteros de la forma:
Q = {...,-1100/7,...-3/2,...-1,...0,...1/2,...,5...}
Los números que
no pueden expresarse como cociente de dos enteros se les llama
números irracionales, es común utilizar la letra Qc.
Los irracionales son números cuyo
desarrollo decimal ilimitado no es periódico, al contrario de los racionales. Ejemplo:
El conjunto de los números reales formado por los números
racionales e irracionales;
donde
N). Los números desde el punto de vista de los conjuntos finitos e infinitos,
numerables y no numerables (opcional para un curso básico)
A continuación se muestra un esquema que agrupa la contención de los conjuntos numéricos:
Esta
sección esta dedicada a abordar los conceptos de finito e infinito, conjuntos
numerables y contables. Se aborda las bases de los números cardinales, sin
embargo, su estudio total esta fuera del contenido de este curso. Suposiciones básicas para abordar el tema: ·
Se supone el conocimiento de las
notaciones para representar los números anteriores tales como reales,
naturales, racionales e irracionales. ·
Se utilizara la idea intuitiva de
cual número es mayor que otro, sin embargo, se hace conocimiento que un análisis
mas riguroso requiere de mas que este sentido intuitivo. ·
Se supone familiar las
demostraciones basadas en la inducción matemática ya que serán utilizados en
algunos argumentos basados en la inducción matemática. ·
Se supondrá que todo subconjunto
no vacío de N tiene un elemento mínimo,
es decir, siempre existe un número b tal que a>b. Esta última propiedad es
una de las mas importantes de los números naturales la cual es conocida como la
propiedad del buen orden y que servirá como base para comparar conjuntos. Un
segmento inicial de N
es un conjunto que consta de todos los
número naturales que son menores o iguales a algún elemento fijo n
de N. Un segmento
inicial Sn
de N es determinado por un elemento n de N de la siguiente manera:
Un elemento x Î
N pertenece a Sn si y sólo
si x < n. Ejemplos:
DEFINICIÓN
(conjunto fínito).
Un conjunto B es finito si es vacío o si
hay una biyección con dominio B y rango en un segmento inicial de N.
Si no existe tal función, el conjunto es infinito.
Si
hay una biyección de B sobre N, entonces el conjunto B es numerable
(o enumerable) . Si un conjunto es finito o es numerable, se dice que es contable. Considerando
que las funciones en ocasiones se expresan como las funciones de correspondencia
uno a uno, es decir a cada elemento del domino corresponde uno y solo uno del
codominio el concepto de conjunto finito y de conjunto numerable como sigue: Un
conjunto B es finito si es vacío o si se
puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto de un segmento inicial de N. Se dice que B es numerable
si se puede poner en correspondencia uno a uno con todo N. En
ocasiones no es tan fácil determinar si un conjunto es finito o si
es numerable, por ejemplo, los conjuntos de los números pares
y el de los impares son numerales por que pueden ponerse en
correspondencia uno a uno con los números naturales, pero la relación puede no
ser tan directa. La acción de
poner en correspondencia el conjunto a estudio y los números naturales, depende
de cómo sea el conjunto, así por ejemplo,
el conjunto Z de todos los enteros.
Z = {...,-1,0,1,2,...}. Contiene
al conjunto N, pero se puede ver
que Z es un conjunto numerable. Se deja a como ejercicio la relación. Teoremas Importantes
de números
Otros
teoremas importantes son los siguientes, los cuales vale la pena intentar las
demostraciones, como sugerencia se debe de aplicar el manejo de la inducción
matemática y la incorporación de la comparación con los números naturales. TEOREMA.
Un conjunto B es contable si y sólo si hay un inyección con dominio B y rango
en N. TEOREMA.
Cualquier subconjunto de un conjunto finito es finito. Cualquier subconjunto de
un conjunto contable es contable. TEOREMA.
La unión de una colección finita de conjuntos finitos es un conjunto finito.
La unión de una colección contable de conjuntos contables es un
conjunto contable. TEOREMA:
El conjunto Q de todos los números racionales forma un conjunto contable. (para
la demostración se hacer uso del teorema anterior generando unión de conjuntos
contables (“procedimiento en diagonal” |
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