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h).- Los conjuntos mas importantes.

       h.1).- subconjuntos.

       h.2).- conjunto vacío.

       h.3).- conjunto unitario.

       h.4).- conjunto universal.

       h.5).- conjunto potencia.

       h.6).- conjuntos disjuntos.

i).- Diagramas de Venn-Euler  

J).-Operaciones mas comunes entre conjuntos

       J.1).-Unión

       J.2).-Intersección

       J.3).- diferencia de conjuntos  

 


  H).- Los conjuntos mas importantes

   

SUBCONJUNTOS:

 

Un conjunto A se dice subconjunto de B , , si todos los elementos de A pertenecen a B el reciproco no es necesario, pero si sucede, el conjunto A es igual a B. A esta relación se le conoce como relación de inclusión.

 

RELACION DE INCLUSIÓN. Es una relación conjunto – conjunto. Se dice que un conjunto A está incluido en otro B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.

 

PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS:

 

            Los subconjuntos tienen las siguientes propiedades:

 

 

REFLEXIVA.- Todo conjunto es subconjunto de si mismo.     

A Ì A

 

ANTISIMETRICA.- Si dados dos conjuntos A y B se verifica A Ì B, entonces se deduce que B Ë A.

 

A Ì B à A Ë B

 

TRANSITIVA.- Dados tres conjuntos A, B y C, si se verifica

 

A Ì B y B Ì C entonces A Ì C

Una manera grafica de entender los diagramas de Venn-Euler que se mostraran mas adelante continuación.

 

A = {x I x es par}

B = {2,4,6,8}

C = {vocales}

D = {abecedario}

 

Los subconjuntos se expresan de la siguiente manera:

 

AÌB (A es subconjunto de B)

CÌ_D (C es subconjunto de D)

 

Los elementos del  conjunto A esta contenido en B pero al revés no es cierto, es decir B no es subconjunto de  A y se representa como: .

 

 

CONJUNTO VACÍO

 

Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.

 

Ejemplos:

A = { Las personas que vuelan }

A = { }

A = Ø

B = { x I x numero racional e irracional}

B = { }

B = Ø

C = { x I  x es una solución real de }

C = { }

C = Ø

D = { x I x  es rojo y verde a la vez}

D = { }

D = Ø

E = { x I x es un número real e imaginario}

E = { }

F = Ø


CONJUNTO UNITARIO

 

Es todo conjunto que está formado por  sólo un elemento.

 

A = { 1 }

B = {x I x es la solución de }

C = {números pares entre 2 y 6} = { 4 }

D = {La capital del México }

CONJUNTO UNIVERSAL

 

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del Universo. Se le denota por la letra U. El universos lo forman el conjunto de conjuntos que intervienen. Así, si se esta hablando de todos los números, el conjunto universal será los números complejos:

 

Ejemplos:

 

Sean los conjuntos:

 

A = { aves}   B = { peces }    C = { anfibios }   D = {tigres}

 

 Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los animales

 

U = { animales }  


De manera grafica estos conjuntos los podemos representar de la manera siguiente:

 

Sean los conjuntos:

 

E = { mujeres }     F = { hombres }

 

 El conjunto que incluye a los conjuntos E y F es el universo, conformado por

 

U = { seres humanos }

 

Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

   

CONJUNTO POTENCIA

 

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto N se llama Conjunto Potencia de N. Se le denota como .

 

a).- Si N = { 1, 2 } como podemos ver el conjunto tiene dos elementos y el conjunto potencia tendrá elementos y son:

 

b).- si ahorra el conjunto N consta de tres elementos el, N = {1,2,3}, el conjunto potencia tendrá 8 elementos y son:  

 

Teorema  Si un conjunto N es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia   tendrá  elementos.

CONJUNTOS DISJUNTOS

 

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.

 

Ejemplos de conjuntos disjuntos y no disjuntos:

 

1.- Sea

A = {x I x es par}

B = {x I x es impar}

 

A y B son disjuntos pues no tienen ningún elemento en común.

 

2.- Sea A = {x I x es una vocal} y B = {x I x es una letra del abecedario }

 estos dos conjuntos tienen a las vocales en común por lo que no son disjuntos.

 

 

    I).- DIAGRAMA DE VENN-EULER

 

El matemático y lógico británico, John Venn (1834 – 1923) es especialmente conocido por su método de representación gráfica de proposiciones (según su cualidad y cantidad) y silogismos. Los diagramas de Venn permiten, además, una comprobación de verdad o falsedad de un silogismo. Entre sus obras destaca Lógica Simbólica y los principios de la lógica empírica o inductiva. Sin embargo, también fue importante la participación de Euler en la esquematización de las representaciones de algunas operaciones.

 

Cada conjunto de elementos se encuentra encerrado dentro de un circulo, o figura geométrica, y estos a su vez están encerrados dentro de otra figura, por lo general está es un rectángulo, se pueden dibujar cada elemento del conjunto o bien solo se puede indicar su existencia. Los diagramas de Venn son una buena herramienta, que nos permite realizar las operaciones entre los diversos conjuntos del universo de un forma más sencilla.

     

J).- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

El gráfico es la representación de la unión

 

El gráfico es la representación de la intersección  

El gráfico representa la diferencia entre conjuntos:

 


UNIÓN DE CONJUNTOS

 

 

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

  A U B = {x I  x Î A o x Î B}

  En forma gráfica la unión puede  tener varios casos, como el siguiente en el que se muestra cuando los conjuntos son disjuntos  

 

   Cuando los conjuntos tienen algunos elementos en común:  

Cuando todos los elementos de un conjunto están contenidos en el otro, no es necesario que los conjuntos sean iguales:

     

Ejemplos de la construcción de gráficos en diagramas de Venn-Euler

(UNIÓN)

 

1.- Dados los siguientes conjuntos:  A = {2,4,6,8,10}, B =  {0,1,2,3 }, C = { -2,-1, 0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de a).- AUB, b).- AUC, c).- BUC

 

a).-   

b).-

c).-

INTERSECCIÓN DE CONJUNTO

 

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos

 

 

que son comunes a A y B. Se denota por A Ç  B, que se lee: A intersección B.

 

A ÇB = { x  I xÎ A y x Π B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

En el siguiente gráfico se muestra la intersección de dos conjuntos disjuntos:

 

 

   

En el siguiente ejemplo se muestra un gráfico de dos conjuntos que tienen elementos en común:

   

Todos los elementos de  A están contenidos en B

 

Ejemplos:  

1.- Dados los siguientes conjuntos:  A = {2,4,6,8,10}, B =  {0,1,2,3 }, C = { -1,-2, 0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de a).- AÇB, b).- AÇC, c).- BÇC

  a).-  ;  

                 ;      

          b).- AÇC, 

            c).- BÇC

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

 

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A - B y se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos como:

   

Tres son la posibilidades.  El siguiente gráfico muestra la diferencia para dos conjuntos disjuntos:  

A \ B = A -B = { y }

 

Otro caso es cuando existe intersección:

   

    el último caso es cuando un conjunto esta contenido en otro:  

Ejemplo:

1.- Dados los siguientes conjuntos:  A = {2,4,6,8,10}, B =  {0,1,2,3 }, C = { -1,-2, 0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de a).- A\B, b).- A\C, c).- B\C 

d).- C\B

 

a).-  ;    b).- ;     c).-    d).-  

 

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:  

 

A´= Ac = { y }  

Ejemplo:    Sea el universo U = {2,4,6,8} y A = {2}  entonces Ac ={4,6,8}  

I).- DIAGRAMA DE VENN-EULER

 

El matemático y lógico británico, John Venn (1834 – 1923) es especialmente conocido por su método de representación gráfica de proposiciones (según su cualidad y cantidad) y silogismos. Los diagramas de Venn permiten, además, una comprobación de verdad o falsedad de un silogismo. Entre sus obras destaca Lógica Simbólica y los principios de la lógica empírica o inductiva. Sin embargo, también fue importante la participación de Euler en la esquematización de las representaciones de algunas operaciones.

 

Cada conjunto de elementos se encuentra encerrado dentro de un circulo, o figura geométrica, y estos a su vez están encerrados dentro de otra figura, por lo general está es un rectángulo, se pueden dibujar cada elemento del conjunto o bien solo se puede indicar su existencia. Los diagramas de Venn son una buena herramienta, que nos permite realizar las operaciones entre los diversos conjuntos del universo de un forma más sencilla.

     

J).- OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

El gráfico es la representación de la unión

 

El gráfico es la representación de la intersección  

El gráfico representa la diferencia entre conjuntos:

 


UNIÓN DE CONJUNTOS

 

 

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

  A U B = {x I  x Î A o x Î B}

  En forma gráfica la unión puede  tener varios casos, como el siguiente en el que se muestra cuando los conjuntos son disjuntos  

 

   Cuando los conjuntos tienen algunos elementos en común:  

Cuando todos los elementos de un conjunto están contenidos en el otro, no es necesario que los conjuntos sean iguales:

     

Ejemplos de la construcción de gráficos en diagramas de Venn-Euler

(UNIÓN)

 

1.- Dados los siguientes conjuntos:  A = {2,4,6,8,10}, B =  {0,1,2,3 }, C = { -2,-1, 0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de a).- AUB, b).- AUC, c).- BUC

 

a).-   

b).-

c).-

INTERSECCIÓN DE CONJUNTO

 

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos

 

 

que son comunes a A y B. Se denota por A Ç  B, que se lee: A intersección B.

 

A ÇB = { x  I xÎ A y x Π B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

En el siguiente gráfico se muestra la intersección de dos conjuntos disjuntos:

 

 

   

En el siguiente ejemplo se muestra un gráfico de dos conjuntos que tienen elementos en común:

   

Todos los elementos de  A están contenidos en B

 

Ejemplos:  

1.- Dados los siguientes conjuntos:  A = {2,4,6,8,10}, B =  {0,1,2,3 }, C = { -1,-2, 0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de

 a).- AÇB, b).- AÇC, c).- BÇC

 

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

 

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A - B y se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos como:

   

Tres son la posibilidades.  El siguiente gráfico muestra la diferencia para dos conjuntos disjuntos:  

A \ B = A -B = { y }

 

 


Otro caso es cuando existe intersección:

   

 

 

el último caso es cuando un conjunto esta contenido en otro:  

Ejemplo:

1.- Dados los siguientes conjuntos:  A = {2,4,6,8,10}, B =  {0,1,2,3 }, C = { -1,-2, 0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de a).- A\B, b).- A\C, c).- B\C 

d).- C\B

 

a).-  ;    b).- ;     c).-    d).-  

 

   

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa:  

 

A´= Ac = { y }  

Ejemplo:    Sea el universo U = {2,4,6,8} y A = {2}  entonces Ac ={4,6,8}