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.

1.6. Matrices invertibles por determinantes.

 

Desde luego que encontrar la matriz inversa es muy relevante en muchas áreas de las ciencias y la ingeniería, por ello además de haber ensayado por G-J, ahora lo haremos por determinantes.

 

Sea A una matriz cuadrada, nosotros sabemos que A es invertible si el Det A es diferente de cero. Obtener la matriz  M, que es la de cofactores  de A, donde A es de orden n x n y el ij-ésimo cofactor  de A denotado como Aij, esta determinado por

 

Aij=(-1)i+j|Mij|

 

Es decir el cofactor Aij se obtiene del determinante ij-ésimo menor Mij y multiplicando por

(-1)i+j  

donde se multiplica por 1 si i+j es par, o -1 si i+j es impar.

 

  Considere esta matriz A, donde m=n, ósea es cuadrada

 

Det A= a11A11+ a12A12+a13A13 + …+a1nA1n =

Esta expresión se le llama, determinante por cofactores.

Es necesario definir la matriz Adjunta de A –Adj A-  como Mt, donde  esta última se le conoce como matriz de cofactores. En otras palabras

 

 

en tanto  que 

 

Ejemplo 1: Obténgase la mediante la Adjunta, la inversa de la matriz F.

 

Obtengamos primero la matriz de cofactores M.

 

,,,

, ,,

,

  y Mt , la cual es

 

 Igual a Adj F.

y el Det F= 17

 

, por lo tanto  A-1=

 

1.7. Teorema de Cramer´s Rule

 

Nosotros sugerimos haber revisado la inversa por determinantes para abordar el teorema de Cremer’s Rule que nos sirve para encontrar las soluciones de un sistema lineal de ecuaciones

 

Considérese el sistema lineal (en forma de matriz aumentada) AX=B  donde A es la matriz de coeficientes, B el termino no homogéneo, y X la columna matriz desconocida.

 

Teorema: El sistema lineal AX=B tiene una solución única, sí y sólo sí A es invertible, en este caso la solución puede encontrarse a través de las formulas Cramer’s.

 

, para i = 1, 2, … n

 

donde Xi son las incógnitas del sistema y la matriz Ai es obtenida desde A, al remplazar la i columna por la columna B. en otras palabras:

 

 

donde bi son los elementos columna de B.

En Particular si el sistema AX=B es homogéneo, B=0, significa que si A es invertible, la única solución es la trivial, X=0. Así, si estamos buscando una solución no cero al sistema, la matriz de coeficientes A, es imperativo que sea singular o no homogénea.

 

Ejemplo 1: Resolver el sistema lineal en forma AX=B

Donde

 

Det A = 13

Existe el determinante, implica que la matriz de coeficientes es invertible, existe  A-1=M 

 

 

Así que usaremos las fórmulas de Cramer

 

, ,

 

Ejercicios:

 

 

1)      .- Resolver el sistema lineal en forma AX=B, donde

,

 

Sol.-

Det A= 34

Existe el determinante, implica que la matriz de coeficientes es invertible, existe  A-1=M

, AX=B, por G-J

 

 

, ,

 

1.8. Matriz exponencial.

 

  El rol de ésta, radica en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Para definir  tal matriz, es necesario enunciar la función exponencial ex y extender su significado en los polinomios de Taylor.

          

 

La matriz exponencial es dada para este caso por:

 

Para matriz A=0,   recordar que e0=I

En general para la matriz identidad   eAeA-1=e0=I

Para eAeB= e(A+B)

Ejemplo:

=eA

 

A2=

A2=

A2= y pude verse que A3=0

 

Para este caso tenemos

 

 

 

1.9. Independencia y dependencia lineal.

 

Un conjunto de dos o más funciones, ecuaciones o vectores f1,f2,f3, …fn, en  son linealmente independiente si y sólo si el conjunto:

a1f1 + a2 f2 + …+an fn =0

tiene como única solución  a1=a2=a3=an=0, por lo tanto la dependencia lineal existe si y sólo si el conjunto:

a1f1 + a2 f2 + …+an fn =0

tiene una solución que por lo menos un ai, es diferente de cero.

 

Una matriz A será linealmente independiente en   si y sólo si

a)      Det |A| es diferente de cero, ó

b)      Es invertible, o bien

c)      Es equivalente por renglones a In

Una matriz A es linealmente dependiente en   si y sólo si

a)      Det |A| =0, ó

b)      A es singular,

c)      A no es equivalente por renglones a In

Ejemplo 1: AX=B determinar si la dependencia lineal.

,

 

Al tratar de realizar G-J encontramos que el sistema es inconsistente.

1.- La A-1 se encuentra que es una matriz singular, -no invertible-

2.- El del Det |A| es = 0

3.- Al cancelarse los renglones dos y tres por combinaciones lineales no es posible reducirla  a la equivalente por renglones I3. Podemos observar además que los renglones dos y tres son producto de las combinaciones lineal del primero.

 

Ejemplo 2: AX=B determinar la dependencia lineal.

,

 

El sistema por G-J tiene solución:

 

tiene como única solución el cero.

 

1.- A-1 es invertible

 

2.- El Det |A|  = 12, el determinante es diferente de cero.

3.- Finalmente por si hubiera duda, es posible a A reducirla por renglones equivalentes en I3.

Ejemplo 3: AX=B determinar la dependencia lineal.

,

 

Solución.

Por G-J AX=B:

2.- Det |A|=

3.- A-1 es invertible

 

 

Finalmente por si hubiera duda, es posible a A reducirla por renglones equivalentes en I4.

Ejemplo 4: AX=B determinar la dependencia lineal.

,

 

El sistema por G-J demuestra ser inconsistente, es decir no tiene solución:

 

 

2.- El Det |A|  = 0, el determinante es cero.

3.- La A-1 , se encuentra que es una matriz singular, -no invertible-

4.- A no es posible reducirla por combinaciones lineales a I4.

Ejemplo 5.- AX=B determinar la dependencia lineal.

,

 

Por G-J AX=B:

 

2.- El Det |A|= 2

3.- La A-1 =

 

 

Finalmente por si hubiera duda, es posible a A reducirla por renglones equivalentes en I4.