1.6. Matrices invertibles por determinantes.

Desde luego que encontrar la matriz inversa es muy relevante en muchas áreas de las ciencias y la ingeniería, por ello además de haber ensayado por G-J, ahora lo haremos por determinantes.

Sea A una matriz cuadrada, nosotros sabemos que A es invertible si el Det A es diferente de cero. Obtener la matriz  M, que es la de cofactores  de A, donde A es de orden n x n y el ij-ésimo cofactor  de A denotado como A_ij, esta determinado por

A_ij=(-1)^i+j|M_ij|

Es decir el cofactor A_ij se obtiene del determinante ij-ésimo menor M_ij y multiplicando por

(-1)^i+j  

donde se multiplica por 1 si i+j es par, o -1 si i+j es impar.

  Considere esta matriz A, donde m=n, ósea es cuadrada

Det A= a₁₁A₁₁+ a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃ + …+a_1nA_{1n =}

Esta expresión se le llama, determinante por cofactores.

Es necesario definir la matriz Adjunta de A –Adj A-  como M^t, donde  esta última se le conoce como matriz de cofactores. En otras palabras

en tanto  que 

Ejemplo 1: Obténgase la mediante la Adjunta, la inversa de la matriz F.

Obtengamos primero la matriz de cofactores M.

,,,

, ,,

,

  y M^t , la cual es

 Igual a Adj F.

y el Det F= 17

, por lo tanto  A^-1=

1.7. Teorema de Cramer´s Rule

Nosotros sugerimos haber revisado la inversa por determinantes para abordar el teorema de Cremer’s Rule que nos sirve para encontrar las soluciones de un sistema lineal de ecuaciones

Considérese el sistema lineal (en forma de matriz aumentada) AX=B  donde A es la matriz de coeficientes, B el termino no homogéneo, y X la columna matriz desconocida.

Teorema: El sistema lineal AX=B tiene una solución única, sí y sólo sí A es invertible, en este caso la solución puede encontrarse a través de las formulas Cramer’s.

, para i = 1, 2, … n

donde X_i son las incógnitas del sistema y la matriz A_i es obtenida desde A, al remplazar la i columna por la columna B. en otras palabras:

donde b_i son los elementos columna de B.

En Particular si el sistema AX=B es homogéneo, B=0, significa que si A es invertible, la única solución es la trivial, X=0. Así, si estamos buscando una solución no cero al sistema, la matriz de coeficientes A, es imperativo que sea singular o no homogénea.

Ejemplo 1: Resolver el sistema lineal en forma AX=B

Donde

Det A = 13

Existe el determinante, implica que la matriz de coeficientes es invertible, existe  A^-1=M 

Así que usaremos las fórmulas de Cramer

, ,

Ejercicios:

1)      .- Resolver el sistema lineal en forma AX=B, donde

,

Sol.-

Det A= 34

Existe el determinante, implica que la matriz de coeficientes es invertible, existe  A^-1=M

, AX=B, por G-J

, ,

1.8. Matriz exponencial.

  El rol de ésta, radica en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Para definir  tal matriz, es necesario enunciar la función exponencial e^x y extender su significado en los polinomios de Taylor.

La matriz exponencial es dada para este caso por:

Para matriz A=0,   recordar que e⁰=I

En general para la matriz identidad   e^Ae^A-1=e⁰=I

Para e^Ae^B= e^(A+B)

Ejemplo:

=e^A

A²=

A²=

A²= y pude verse que A³=0

Para este caso tenemos

1.9. Independencia y dependencia lineal.

Un conjunto de dos o más funciones, ecuaciones o vectores f₁,f₂,f₃, …f_n, en  son linealmente independiente si y sólo si el conjunto:

a₁f₁ + a₂ f₂ + …+a_n f_n =0

tiene como única solución  a₁=a₂=a₃=a_n=0, por lo tanto la dependencia lineal existe si y sólo si el conjunto:

a₁f₁ + a₂ f₂ + …+a_n f_n =0

tiene una solución que por lo menos un a_i, es diferente de cero.

Una matriz A será linealmente independiente en   si y sólo si

a)      Det |A| es diferente de cero, ó

b)      Es invertible, o bien

c)      Es equivalente por renglones a I_n

Una matriz A es linealmente dependiente en   si y sólo si

a)      Det |A| =0, ó

b)      A es singular,

c)      A no es equivalente por renglones a I_n

Ejemplo 1: AX=B determinar si la dependencia lineal.

,

Al tratar de realizar G-J encontramos que el sistema es inconsistente.

1.- La A^-1 se encuentra que es una matriz singular, -no invertible-

2.- El del Det |A| es = 0

3.- Al cancelarse los renglones dos y tres por combinaciones lineales no es posible reducirla  a la equivalente por renglones I₃. Podemos observar además que los renglones dos y tres son producto de las combinaciones lineal del primero.

Ejemplo 2: AX=B determinar la dependencia lineal.

,

El sistema por G-J tiene solución:

tiene como única solución el cero.

1.- A^-1 es invertible

2.- El Det |A|  = 12, el determinante es diferente de cero.

3.- Finalmente por si hubiera duda, es posible a A reducirla por renglones equivalentes en I₃.

Ejemplo 3: AX=B determinar la dependencia lineal.

,

Solución.

Por G-J AX=B:

2.- Det |A|=

3.- A^-1 es invertible

Finalmente por si hubiera duda, es posible a A reducirla por renglones equivalentes en I₄.

Ejemplo 4: AX=B determinar la dependencia lineal.

,

El sistema por G-J demuestra ser inconsistente, es decir no tiene solución:

2.- El Det |A|  = 0, el determinante es cero.

3.- La A^-1 , se encuentra que es una matriz singular, -no invertible-

4.- A no es posible reducirla por combinaciones lineales a I₄.

Ejemplo 5.- AX=B determinar la dependencia lineal.

,

Por G-J AX=B:

2.- El Det |A|= 2

3.- La A^-1 =

Finalmente por si hubiera duda, es posible a A reducirla por renglones equivalentes en I_4.

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