CIE EXORDIO CERO MAYA LIBRO LIBRE HUATAPERA PROFESOR ESCRITOR
                          












 



 


     

 

 

 

 

 










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Ejercicios.  

Teorema fundamental del álgebra.


 

EJERCICIOS FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

 

I).-   a(x + y) = ax + ay 

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

( a + b )2          a2 + 2ab +b2

CUBO DE UNA SUMA

(a + b)3    = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

 

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )2   = a2- 2ab + b2

CUBO DE UNA

 (a - b)3    =  a3 - 3a2b + 3ab2 -b3

 

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

(a + b)      (a - b) =a2 -b2

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA

(x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x +ab

 

 

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

( a + b )2

 

=

a2

 

+

2ab

+

b2

 

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

1) Ejemplo: (5x +7)2= (5x)2+ 2(5X)(7) + (7)2

El cuadrado del 1er término es (5x)(5x) = 25x2

El doble producto de ambos términos es 2(5x)(7)=(10x)(7) = 70x

El cuadrado del 2do término es (7)(7) = 49

2) Ejemplo (0.5x+9)2= (0.5x)2+ 2(.05X)(9) + (9)2

 

a) El cuadrado del 1er término es (0.5x)(0.5x) = 0.25x2

b) El doble producto de ambos términos es 2(0.5x)(9)=(1x)(9) = 9x

c) El cuadrado del 2do término es (9)(9)=81

Entonces             ( 0.5x + 9 )2    =0.25x2+9x  +81

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

( a - b )2

 

=

a2

 

-

2ab

+

b2

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

( 3x - 8y2 )2=9x2-48xy2+ 64y4  

 

 

Final del formulario

a)              El cuadrado del 1er término es (3x)(3x) = 9x2

b)              El doble producto de ambos términos es 2(3x)(8y2) = (6x)(8y2) = 48xy2

c)               El cuadrado del 2do término es (8y2)(8y2) = 64y4

 

Entonces             ( 3x - 8y2 )2   =9x2   - 48xy2+ 64y4          

 

2) ( x2 - 5y3 )2=x4-10x2y3+25y6

 

a) El cuadrado del 1er término es (x2)(x2) = x4

b) El doble producto de ambos términos es 2(x2)(5y3) = (2x2)(5y3) = 10x2y3

c) El cuadrado del 2do término es (5y3)(5y3) = 25y6

Entonces             ( x2 - 5y3 )2   =x4      - 10x2y3+ 25y6

 

 PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

( a + b ) ( a - b )

=

a2

 

-

b2

 

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

 

1) Ejemplo: ( 4x + 9y )( 4x - 9y )= 16x2-81y2

a) El cuadrado del 1er término es (4x)(4x) = 16x2

b) El cuadrado del 2do término es (9y)(9y) = 81y2

Entonces    ( 4x + 9y )( 4x - 9y )          16x2           -        81y2

 

2).- Ejemplo: Entonces           ( 10x + 12y3 )( 10x - 12y3 )= 100x2-44y6

 

a) El cuadrado del 1er término es (10x)(10x) = 100x2

b) El cuadrado del 2do término es (12y3)(12y3) = 144y6

Entonces    ( 10x + 12y3 )( 10x - 12y3 )        100x2                  -        144y6

 

CUBO DE UNA SUMA

( a + b )3

 

=

a3

 

+

3a2b

+

3ab2

+

b3

 

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

Ejemplo

1)      ( 2x + 4y )3          = (2x)3+ 3(2x)2(4y)+ 3(2x)(4y)2+ (4y)3  

a) El cubo del 1er término es (2x)(2x)(2x) = 8x3

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(2x)(2x)(4y)=(6x)(2x)(4y)=(12x2)(4y)=(48x2y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(2x)(4y)(4y)=(6x)(4y)(4y)=(24xy)(4y)=(96xy2)

d) El cubo del 2do término es (4y)(4y)(4y) = 64y3

Entonces    ( 2x + 4y )3          =8x3  +48x2y+96xy2+64y3   

Ejemplo

2)      ( 5x + 6y )3          = (5x)3 +3(5x)2(6y)+ 3(5x)(6y)2+ (6y)3  

a) El cubo del 1er término es (5x)(5x)(5x) = 125x3

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(5x)(5x)(6y)=(15x)(5x)(6y)=(75x2)(6y)=(450x2y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(5x)(6y)(6y)=(15x)(6y)(6y)=(90xy)(6y)=(540xy2)

d) El cubo del 2do término es (6y)(6y)(6y) =216y3

Entonces    ( 5x + 6y )3          =125x3 + 450x2y         +540xy2+216y3

CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )3

 

=

a3

 

-

3a2b

+

3ab2

-

b3

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

Ejemplo

1)      ( 6x - 2y )3  = (6x)3- 3(6x)2(2y)+ 3(6x)(2y)2- (2y)3   

a) El cubo del 1er término es (6x)(6x)(6x) = 216x3

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(6x)(6x)(2y)=(18x)(6x)(2y)=(108x2)(2y)=(216x2y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(6x)(2y)(2y)=(18x)(2y)(2y)=(36xy)(2y)=(72xy2)

d) El cubo del 2do término es (2y)(2y)(2y) = 8y3

Entonces    ( 6x - 2y )3 =216x3 - 216x2y   +72xy2-8y3

 

Ejemplo

 

2)      ( 4x6 - 5y )3= (4x6)3- 3(4x6)2(5y) + 3(4x6)(5y)2- (5y)3     

a) El cubo del 1er término es (4x6)(4x6)(4x6) = 64x18

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(4x6)(4x6)(5y)=(12x6)(4x6)(5y)=(48x12)(5y)=(240x12y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(4x6)(5y)(5y)=(12x6)(5y)(5y)=(60x6y)(5y)=(300x6y2)

d) El cubo del 2do término es (5y)(5y)(5y) = 125y3

Entonces    ( 4x6 - 5y )3   =    64x18   240x12y  +   300x6y2 -  125y3

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

(x + a )(x + b )

=

x2

 

+

(a+b)

x

+

ab

El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.

1)

(x + 2)(x + 7 )

=

x2

 

+

(2 + 7)

x

+

(2)(7)

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2

b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Entonces:

(x + 2)(x + 7 )

=

x2

 

+

9

x

+

14

 

2)

(y + 9)(y - 4 )

=

y2

 

+

(9 - 4)

y

+

(9)(-4)

a) El cuadrado del término común es (y)(y) = y2

b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (9 - 4)y = 5y

c) El producto de los términos no comunes es (9)(-4) = -36

Entonces:

(y + 9)(y - 4 )

=

y2

 

+

5

y

-

36

EJERCICIOS

 

PREGUNTAS

 

RESPUESTAS

01

(x + 5)2

=

x2 + 10x + 25

02

(7a + b)2

=

49a2 + 14ab + b2

03

(4ab2 + 6xy3)2

=

16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6

04

(xa+1 + yb-2)2

=

x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4

05

(8 - a)2

=

64 - 16a + a2

06

(3x4 -5y2)2

=

9x8 - 30x4y2 + 25y4

07

(xa+1 - 4xa-2)2

=

x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4

08

(5a + 10b)(5a - 10b)

=

25a2 - 100b2

09

(7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3)

=

49x4 - 144y6

10

(x + 4)3

=

x3 + 12x2 + 48x + 64

11

(5x + 2y)3

=

125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3

12

(2x2y + 4m)3

=

18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3

13

(1 - 4y)3

=

1 - 12y + 48y2 -64y3

14

(3a3 - 7xy4)3

=

27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12

15

(2xa+4 - 8ya-1)3

=

8x3a+12 - 96x2a+8ya-1 + 384xa+4y3a-3 - 512y3a-3

16

(x + 5)(x + 3)

=

x2 + 8x + 15

17

(a + 9)(a - 6)

=

a2 + 3a - 54

18

(y - 12)(y - 7)

=

y2 - 19y + 84

19

(4x3 + 15)(4x3 + 5)

=

16x6 + 80x3 + 75

20

(5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14)

=

25y2a+2 - 50ya+1 – 56

21

2xy(3x2y - 4y3)

=

6x3y2 – 8xy4

22

(z - 4)2

=

z2  - 8z + 16

 

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

 

¿Qué nos dice El Teorema Fundamental del Álgebra? Nos dice, cuándo tenemos factorizado completamente un polinomio:

Por una parte, un polinomio ha sido factorizado completamente (sobre los números reales) sólo si todos sus factores son lineales o cuadráticos irreducibles.

Por otro lado, siempre que un polinomio ha sido factorizado en sólo factores lineales y cuadráticos irreducibles, entonces ha sido factorizado completamente, puesto que ambos, los factores lineales y los cuadráticos irreducibles no se pueden factorizar más sobre los números reales.

 

¿Que no nos dice El Teorema Fundamental del Álgebra? No es constructivo, esto es, ¡No nos dice como factorizar un polinomio completamente!

   

De hecho, no se sabe en general como factorizar un polinomio; sólo son conocidas técnicas para tipos especiales de polinomios. Es incluso peor que eso: El matemático Evariste Galois (1811-1832) ha probado que nunca habrá una fórmula general para resolver polinomios de grado 5 y superior.

 

 

Descomposición en factores

a)         Factor monomio común: ac + ad = a(c +d )

b)         Diferencia  de Cuadrados:  a2 – b2 =(a + b) (a - b)

c)         Otros trinomios: x2 + (a + b)x +ab = (x +a)(x+b)

           acx2  + (ad + bc)x + bd= (ax + bc)(cx +d)

d)         Suma, diferencia  de  dos cubos:

A3  +  B3 =  (A + B) (A2 – AB + B2)

A3  + B3 =  (A - B) (A2  AB + B2)

 

1)   2x2 – 3xy =                     x (2x-3y)

2)   4x + 8y + 12z =                  4(x + 2y + 3z)

3)   10a2b3c4 - 15 a3b2c4 +  30a4b3c2  5a2b2c2(2bc2 -  3ac2 +  6a2b)

4)    x2 – 9 = x – 32 =                (x + 3)( x – 3)

5)     25x2 – 4y2 =  (5x)2  - (2y)2 =         (5x + 2y)(5x – 2y)

6)     9x2y2 – 16 a2 = (3xy)2 – (4a)2     (3xy + 4a2) (3xy – 4a)

7)     3x2 – 12= 3(x2 –4)=           3(x + 2)(x - 2)

8)     x2y2 –36y4= y2[x2 –(6y)2]=    y2(x + 6y)(x – 6y)

9)     x2  + 8x + 16 =    x2 + 2(x)(4) + 42= (x + 4)2

10)          1 + 4y + 4y2=                   (1 + 2y)2

11)           9x4 – 24x2y + 16y2=     (3x2 – 4y)2

12)           x2 + 6x + 8 =                    (x + 4) (x + 2)

13)           x2 – 6x + 8 =                   (x - 4) (x - 2)

14)           x2 + 2x – 8 =                   (x - 4)(x + 2)

15)           3x3 – 3x2 –18x = 3x (x2  – x - 6)= 3x (x - 3)( x + 2)

16)           y4 + 7y2 + 12 =                (y2 + 4) (y2 + 3)

17)           m4 + m2 –2 =      (m2 + 2)(m2  – 1)= (m2 + 2)(m2 –1)= (m2 + 2) (m + 1)(m - 1)

18)           z4 – 10z2 + 9 =    (z2 - 1)(z2 - 9) = (z + 1) (z –1) (z + 3) (z – 3)

19)           3x2 + 10x + 3=    (3x + 1)(x + 3)

20)          2x2 –7x + 3 =       (2x – 1) (x – 3)

21)           10s2 + 11s – 6=   (5s – 2)(2s + 3)

22)           10 – x – 3x2=       (5 – 3x)(2 + x)

23)           x3 + 8 = x3 + 23=  (x +2)(x2 – 2x + 22) = (x + 2)(x2 - 2x+4)

24)           64 + y3= 43 + y3= (4 + y) (42 - 4y + y2)= (4 + y)(16-4y + y2)