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C.3).- Factorización de monomios y polinomios.

                 C.2a).- Factorización de un monomio.

                 C.2b).- factorización de un polinomio.

           C.4).- Factor común.

                  C.4 a).- Factor común monomio.

                  C.4 b).- Factor común polinomio. 

           C.5).- Trinomio cuadrado perfecto.

           C.6).- Binomio cuadrado perfecto.

                   C.6 a).- Regla para factorizar una diferencia de cuadrados.

           C.7).- Trinomio de la forma x2 + bx +c.

           C.8).- Cubo perfecto de un binomio.

       c).- Binomio de Newton

d).- Caso

e).- Ecuaciones cuadráticas.

       e-a).- Gráficas e interpretaciones

       e-b).- Aplicaciones.

Teorema fundamental del álgebra.

   


   

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO:  Como veremos no todo polinomio se puede se puede descomponer  en dos o mas factores distintos de 1,  pues en el mismo  modo que en aritmética, hay números primos que  solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, y que , por lo tanto, o son  el  producto de otras expresiones algebraicas, el teorema fundamental del álgebra puede dar la respuesta de cuando se puede obtener una descomposición.

 

 

Factor común

 

El caso mas simple es cuando todos los términos de  un monomio o en general un polinomio tienen un factor común.

 

a).- Factor común monomio.

Se pretende descomponer en factores la expresión algebraica: .

 Como  los factores de la expresión son  y , los cuales tienen en común a escribiremos al factor común como coeficiente de la expresión  teniendo

 

 

b).- Factor común polinomio.

 

Se pretende descomponer la expresión .

Los términos   y tienen en común el factor por lo que

 

 

Como podemos observar en ambos casos, factor común monomio y factor común

polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir por

el factor común.

Ejemplos:

Expresión algebraica

Factor común

descomposición

2+2x

2

2 + 2x =2(1+x)

x(a + b) + m(a + b)

(a + b)

x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b)

3x2 + 3

3

3x2 + 3 = 3(x2+1)

2x+1

Ninguno

 

3x2 + 1

Ninguno

 

 

   

En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar.

 

polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir por

el factor común.

Ejemplos:

 

   


En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar.

   

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

 

Se dice que una expresión es un cuadrado perfecto cuando la expresión se puede descomponer como producto de un mismo factor.

 

 

Por ejemplo:

1.- Se puede expresar como 9x2  como 9x2= (3x)(3x)

2.-   x4 se puede descomponer como  x4=(x2 )(x2)

 

  Un trinomio  es  cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio, o el  producto de dos binomios iguales.

Por ejemplo: x2 + 2xy + y2  se puede expresar como:

 

Nota cuando se utiliza el signo mas la expresión es:

 

 (x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2

 

con signo menos:

(x - y )2 = (x - y) (x - y ) = x2 - 2xy + y2

 

o en una sola expresión:

 

(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2

 

También se lee como: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término mas o menos, según el caso, el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.”

Ejemplos de Trinomios cuadrados perfectos

x2 /4 + xy + y2 = ( x/2 + y ) 2 = (x/2 + y) (x/2 + y )

4x2  + 12xy + 9y2 = ( 2x + 3y ) 2 = (2x + 3y) (2x + 3y )

x2 /4 - 2xy + 4y2 = ( x/2 - 2y ) 2 = ( x/2 - 2y ) ( x/2 - 2y )

25a2  + 30ab + 9b2 = ( 5a + 3b ) 2 = ( 5a + 3b ) ( 5a + 3b )

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.

 

 En los  productos notables se vio que la suma de  dos cantidades  multiplicados por su diferencia es igual al  cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea     

 

Se conoce como diferencia de cuadrados a la expresión formada por el producto de una suma de dos términos y la diferencia de los mismos términos.

 

 (x + y ) (x – y) = x2 – y2

 

Regla para factorizar una diferencia de cuadrados.

 

Dada la diferencia de cuadrados, x2 – y2, se saca la raíz a los dos términos, considerando la raíz positiva  y se multiplica la suma de las dos raíces por la diferencia de las dos raíces.

 

Ejemplos  

   

TRINOMIO  DE LA FORMA x2 + bx +c.

La descomposición de factores de la forma x2 + bx +c depende de los valores de b y c, positivos o negativos (ecuación de segundo grado).

 

Ejemplos:

 

Ejemplos de expresiones algebraicas de segundo grado de la forma x2 + bx +c

x2 -2x +1= (x -1)(x -1) = (x -1)2

x2 -2x +5 no se puede descomponer en el campo de los reales.

x2 -2x-5=(x - 5/2)(x +1/2) (ver solución de ecuaciones cuadráticas).

CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO.

 

La forma de una expresión algebraica  que representa un cubo perfecto de un binomio es dada por:

 

(x + y)3= x3 +3x2y + 3xy2 + y3

 

generalmente se expresa como:

 

“El cubo de un binomio es igual al cubo del primero mas, o menos, el triple producto del primer termino al cuadrado por el segundo mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo mas, o menos, el segundo al cuadrado.”

 

Ejemplos: 

Ejemplos de cubo perfecto de un binomio

a3x3 + 3ba2x2y + 3ab2xy2 +b3y3 = (ax + by)3 

8x3 + 36x2y + 54xy2 +27y3 = (2x + 3y)3 

1/27x3 + x2y + 9xy2 +27y3 = (1/3x + 3y)3 

x3 + 3/2x2y + 3/4xy2 + 1/8y3 = (x + 1/2y)3 

Se puede desarrollar expresiones, no solo cuadrado o cubos de binomios perfectos, sino para expresiones de binomios a mayor grado, sin embargo es mejor analizar el teorema del binomio de Newton que agrupa a todos estos desarrollos incluyendo los cuadrados o cubos de binomios.

EL TEOREMA DEL BINOMIO

El teorema del binomio, descubierto hacia 1664 -1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época. En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica.

El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban.

Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

 

Como sabemos de los temas de factorización, anteriores podemos desarrollar fácilmente polinomios de la forma a2 + 2ab + b2 o  a3 + 3a2b +3ab2 + b3 , sin embargo el realizar operaciones con potencias de mayor grado resulta tedioso, a continuación presentamos algunos de ellos.

 

 

(a + b)1 = a + b

 

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

(a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3

 

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

 

(a +b)5 =  a5 + 5a4b +10a3b2 10a2b3 + 5ab4 + b5

 

debido a lo tedioso de estos cálculos se hace necesario el uso de alguna expresión que nos permita adquirir los binomios de mayor potencia. La expresión que se muestra a continuación es conocido como el teorema de Newton, permite desarrollar los cálculos anteriores y de mayor grado:

  Donde  

   

   

Es la combinatoria, se lee,  de n elementos tomados r,

donde n!=1×2×3×4…..(n-1) n conocido como factorial de n  y 0!=0, 1!=1

 

Ejemplos:

 

 

 


pero podemos ver que:  

con esta igualdad es fácil de calcular expresiones mas grandes con menos operaciones, por ejemplo:

   

Vemos que:

 


Entonces :

   

Un caso particular del binomio de Newton  es el siguiente:

Cuadro de texto:
 

 

 

Ejemplos  de la forma a n  - b n :

  Con n = 0 

 

  Con  n = 1 

  Con n = 2

Ejemplos de la forma a n  - b n :

Clasificación de las ecuaciones