CIE EXORDIO CERO MAYA LIBRO LIBRE HUATAPERA PROFESOR ESCRITOR
                          












 



 


     

 

 

 

 

 










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D).- Factorizaciones.

           D.1).- Conceptos básicos de los polinomios

                 D.1 a).- Monomio.

                 C.1 b).- Binomio.

                 C.1 c).- Trinomio.

                 C.1 d).- Multinomio. 

                 C.1 e).- Polinomio

C.2).- Operaciones básicas entre expresiones algebraicas.

                 C.2 a).- Suma de expresiones algebraicas.        

                 C.2 b).- Resta de expresiones algebraicas.            

                 C.2 c).- Multiplicación de expresiones algebraicas.

                        C.2 c1).- Multiplicación de  monomios.

                        C.2 c2).- Multiplicación de  monomio por polinomio.

                        C.2 c3).- Multiplicación de  polinomio por polinomio.

                 C.2 d).- División de expresiones algebraicas.

                        C.2 d1).- División  de dos monomios.

                          C.2 d2).- División  de dos polinomios.

           C.3).- Factorización de monomios y polinomios.

                 C.2a).- Factorización de un monomio.

                 C.2b).- Factorización de un polinomio.

 

 

D).- FACTORIZACIONES.

 

 

Una buena parte del álgebra se encarga de  simplifica y tratar de poner expresiones en productos de otras expresiones mas simples.

 

Antes de abordar las técnicas de factorización es importante considerar algunos conceptos.

 

Conceptos básicos de las  agrupaciones de los términos en expresiones algebraicas.

 

Un monomio es una expresión algebraica de un solo término.

Ejemplos:

Algunos ejemplos son: 8x, xyt, 1/6x, x

 

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos separados por los signos de suma o resta.

Ejemplos:

7x + y; 2z + a; 5x + y; 2/4x + 2

 

 

 Un trinomio es una expresión algebraica de tres términos separados por los símbolos de suma y de resta.

Ejemplos:

 2x + b + m; x2 – 4xy + 3y2;

 

Un multinomio es una expresión algebraica  de mas de un término.

Ejemplos:

2x + b; x2+ 2xy2 + 3z4 – 8y + 3x;

 

Un polinomio es un monomio polinomio o multinomio en el que cada término es entero y racional con respecto a las variables.

 

 

En un monomio hay un factor numérico  y una parte constituida por letras y sus exponentes que se llama parte literal.

 

Ejemplos:

La parte literal de 6x2 es x2.

La parte literal de  3x  es x.

La parte literal de  12 x2 g5 es x2 g5 .

 

Operaciones básicas entre expresiones algebraicas.

Suma de expresiones algebraicas.

 

Las sumas de expresiones algebraicas se efectúa mediante la agrupación de términos semejantes. Solo se pueden sumar monomios y el resultado es otro monomio.

 

Ejemplos:

Sumas de expresiones

Resultado

3x + x

4x

5y2 + 3y2

8y2

                         4x2 + 3x

No se puede simplificar ya que

4x2  y 3x no son términos semejantes

2x + 3y + 3x +5 y =

 

 

Agrupando los términos semejantes en x y en y tenemos:

(2x + 3x) + (3y +5 y) =  5x + 8y

 

 

 

 

Otra forma en que comúnmente se realizan las sumas  es de la siguiente manera:

 

 

O

 

 

Como podemos ver, se quitaron primero los paréntesis y después se agruparon en términos semejantes.

La suma se puede realizar con mas de dos expresiones algebraicas, por ejemplo podemos sumar  con  y , como podemos observar en la última expresión, a diferencia de las otras dos, no se encuentra ningún término con la variable , sin embargo la operación se puede realiza como veremos:

   

o

 

   

Con la práctica las operaciones de hacen de manera inmediata sin tener que escribir las agrupaciones, sin embargo, el llevar a cabo las agrupaciones ayuda al aprendiz  a adquirir la confianza en las operaciones.

 

Restas  de dos expresiones algebraicas.

 

La resta de dos operaciones algebraicas se realiza de manera similar a como se hace con la suma de operaciones algebraicas, es decir se realizan las restas entre dos términos semejantes

 

Ejemplos:

 

1.- Restar  de .

 

Solución:

 

 

o

 

2.- Restas  de

 

Solución:

 

 

 

Multiplicación de expresiones algebraicas

 

La multiplicación de dos o más monomios se efectúa aplicando las reglas de la potenciación, de los signos,  las propiedades asociativa y conmutativa del producto.

  • Como resultado del producto de  monomios se obtiene otro monomio.
  • El coeficiente numérico del monomio resultante es igual al producto de los coeficientes de los monomios que intervienen en el producto.
  • La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto, con el  exponente de la respectiva literal  igual a la suma de los exponentes.

 

Ejemplos:

1.-      

2.-      

3.-       

 

 

Multiplicación de un monomio por un polinomio.

 

Se efectúa multiplicando el monomio por todos y cada uno de los términos del polinomio, después se suman cada uno de los productos obtenidos de multiplicar el monomio por cada uno de los términos del  polinomio.

 

Ejemplo:

 

Sea un polinomio arbitrario de grado uno, o monomio, con coeficientes reales  (inclusive con ) y

 otro polinomio arbitrario de grado n, con  coeficientes reales. Obtener el producto de los polinomios:

Otra forma es la siguiente:

 

 

 

Multiplicación de dos polinomios.

 

La multiplicación de dos polinomios se efectúa multiplicando todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno  de los términos del otro y sumando todos los productos obtenidos, reduciendo términos semejantes, el resultado de la suma de estos productos generan un nuevo polinomio, de grado la suma del grado de ambos polinomios. Generalmente se ordenan ambos polinomios en orden creciente o decrecientes.

 

 

Sea  un polinomio de grado n, con coeficientes reales  y otro polinomio arbitrario de grado m, con  coeficientes reales.

Obtener el producto de los polinomios:

 

 

Ejemplo:

Multiplicar el polinomio x2 +2x –1 por  el siguiente polinomio de grado dos x2 +2x +1.

 

(x2 +2x –1)·( x2 +2x +1) = x4 +2x3 +x2 +2x3 +4x2 +2x -x2 -2x –1

                                      = x4 +4x3 +4x2 -1

 

Otra forma es:

 

Divisiones de expresiones algebraicas.

 

División de dos monomios.

 La división de dos monomio se encuentra hallando el cociente de los coeficientes y el de las variables, el resultado es el producto de los cocientes de los coeficientes por el de las variables.

 

Sea  y  donde y  son los coeficientes de los respectivos polinomios y los ,  las variables que pueden o no ser iguales entre si, .

Entonces la división esta expresada como:

 

 

La división se realiza de la forma siguiente:

  • Se realiza la división de los coeficientes entre , si es un entero se escribe directamente en el resultado, si por el contrario, no lo es, se acostumbra dejarlo como fracción.
  • Si tienen las mismas variables ambos polinomios, se aplican las propiedades de los exponentes  para expresar las variables con sus respectivas potencias en el resultado.

·        Si no son iguales las variables del numerador con las del denominador, generalmente se dejan como aparecen, aunque también se pueden  expresar las variables  del numerador subiéndolas al numerador con potencias negativas.

 

Ejemplo:    Dividir  entre :

 

 

para tener un monomio nuevamente, es necesario dividir por un monomio que tenga las mismas variables y de menor o igual potencia.

Ejemplo:  Dividir  entre :

 

División de dos polinomios.

División de un polinomio entre un monomio.

 

La división de un polinomio entre un monomio se realiza sumando a sumando, en el caso de que existan las mismas variables.

 

Ejemplos:

 

 

 

 

 

 

División entre polinomios

 

Para la división de dos polinomios, por la división larga, se siguientes pasos :

  • Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes ( o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios.

·        Se divide el primer término de dividendo  por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente.

 

·        E resultado del cociente se multiplica por el divisor, para después restar este producto del dividendo.

·        Una vez realizado esta resta, hora se centra la atención en este resultado, se divide entre el divisor para formar el segundo termino del cociente.

·        Se multiplica nuevamente este resultado por el divisor, restándolo nuevamente del  anterior resultado.

·        Esto se realiza de manera consecutiva hasta reducir el residuo a cero o a un polinomio menor que el divisor.

·        Si el residuo es cero, entonces el cociente y el divisor son factores del dividendo.

 

 

Ejemplo:

     

                 

 A continuación se enuncia el algoritmo de la división para polinomios sin dar la demostración:

Teorema:  Si M(x) y N(x) son polinomios y N(x) g 0, entonces existen polinomios únicos Q(x) y R(x) tales  que:

M(x)=N(x) Q(x)+R(x)

 

 

 

División Sintética

 

Si el divisor es un polinomio de primer grado  de la forma  x-c donde c es una constante, esta constante puede ser inclusive un número complejo, sin embargo, aquí c es una constante real.

 

Del ejemplo anterior:

 

 

Ahora  explicaremos la división sintética, de manera paralela realizaremos el ejercicio anterior.

 

El algoritmo de la división sintética se realiza de acuerdo  a los siguiente pasos:

 

1.- Listar los coeficientes del dividendo en orden decreciente de potencias de , escribiendo 0 para cada potencia de que falte.

   

2.- Colocar como prefijo de esta lista al valor de  que hace cero al divisor.

Cuadro de texto: En este caso el prefijo es  x=-1, que proviene del divisor cuando este los hacemos cero  
 	1	2	1
Prefijo
 

 

 


 

3.-Escribir en la parte inferior el coeficiente principal de la lista, multiplicarlo por el prefijo y sumar el producto al siguiente coeficiente de la lista.

Cuadro de texto: En este caso el prefijo es  x=-1, que proviene del divisor cuando este los hacemos cero
 

 

 

 

   

4.- Multiplicar por el prefijo la suma obtenida en el paso 3 y sumar el producto al siguiente coeficiente. Repetir este paso hasta haber usado todos los coeficientes de la lista.

 

Cuadro de texto: En este caso el prefijo es  x=-1, que proviene del divisor cuando este los hacemos cero
 

 

 

 

   

5.- Todos los elementos del tercer renglón excepto el último son los coeficientes del polinomio cociente, en orden decreciente de potencias, se comienza por una potencia menor a la que tiene el dividendo. El último elemento de este renglón es el residuo.

 

Cuadro de texto:
 

 

 

   

Comparación de un ejercicio por división larga y división sintética:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Los coeficientes señalados con las flechas son los que aparecen en el último renglón de la división sintética.  

Otro ejemplo, pero con residuo distinto de cero:

Encontrar el cociente entre  y   por el algoritmo de la división larga y por división sintética

 

 

 

 

División larga

 

 

División sintética

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Como  podemos ver el residuo es diferente de cero y al igual que en el ejemplo del ejercicio realizado  mediante el proceso de la división sintética el polinomio resultante del cociente se reduce en un grado, en este caso el cociente es:

  La división larga, como hemos podido ver, se parece mucho a las divisiones aritméticas. En este último ejemplo 19 es el residuo del cociente de los dos polinomios.

 


División por Rufini .

Teorema  del Resto .Raíces de un polinomio.

Factorización de un polinomio

 

Teorema del residuo (División de Rufini): Si el polinomio se divide entre , donde  es un número real, entonces el residuo  es igual a .

 

Demostración: Por el algoritmo de la división:

 

 

entonces: , es decir,

con lo que queda demostrado el teorema del residuo.

 

 

Es fácil ver que si el residuo es cero es por que  lo que significa que  es una raíz, 

 

Un polinomio tiene tantas raíces como sea su grado, aunque no todas sean reales, y se puede expresar como un producto que contiene todas sus raíces de la forma:

 A este proceso se le llama factorización de un polinomio.

 

A continuación nos enfocaremos a la descomposiciones de expresiones en factores, o proceso llamado factorización.

 

 

FACTORIZACIÓN DE UN MONOMIO: Los factores  de un monomio se encuentran directamente por simple inspección:

 

 Ejemplos:

 

Monomio

 

 

Factores

 

Descomposición

*