CIE EXORDIO CERO MAYA LIBRO LIBRE HUATAPERA PROFESOR ESCRITOR
                          












 



 


     

 

 

 

 

 










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A).- Definición de un álgebra.

         A.1).- Propiedades de un álgebra

B).- Conceptos básicos

           B.1).- Expresión algebraica.

           B.2).- Término.

           B.3).- Factor.

           B.4).- Coeficiente.

           B.5).- El grado de la expresión.

           B.6).- Términos semejantes.

           B.7).- Identidad y ecuación.

           B.8).- Signos de agrupación de términos.

           B.9).- ¿Cuándo suprimir signos?

C).-Exponentes

DEFINICIÓN ÁLGEBRA

El término álgebra viene del título de la obra del mátematico árabe Mahommed ibn Musa al-Kharizmi, que significa Mahommed, hijo de Musa, natural de Kharizm, a-jebr w'al-muqabalah, que significa transposición y eliminación. El término parece adecuado si consideramos que el álgebra es una de las matemáticas que se encarga de resolver las ecuaciones y ello pasa por algunas serie de simplificaciones en base a eliminaciones.  Al inicio de la historia del álgebra fue importante la participación de los egipcios y babilónicos, los cuales resolvieron las primeras ecuaciones lineales y algunas cuadráticas.

El álgebra, la mayoría de las veces da la solución mediante símbolos que representa números; esta representación numérica mediante literales o símbolos, además de operaciones que resumen las operaciones aritméticas son debidas a Galois.

 

Propiedades de un álgebra:

Existencia de un neutro aditivo, el elemento , 

Existencia de un neutro multiplicativo, el elemento ,

Propiedad distributiva

Propiedad asociativa  

Propiedad conmutativa 

Se dice que si  entonces es un  inverso multiplicativo.

Inverso aditivo ,

B)  Algunos conceptos básicos.

A continuación se dan algunos conceptos que nos permitirán adquirir el lenguaje para poder realizar algunas operaciones a lo largo del curso.

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras sometidos a las operaciones de suma , resta , multiplicación , división , potenciación y radicación , que cumplen las mismas reglas que con los números.

Ejemplo:  3x2 + 6xy + 3y2  

Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por las operaciones elementales como la suma, restas, multiplicaciones o divisiones.

Ejemplo: 9x5y,  -8x2/y  son términos de una expresión algebraica.

Un factor es cada uno de los componentes de un término.

Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.


 

Ejemplos:

Expresión algebraica

Términos

Factores

Coeficientes

Coeficientes Numéricos

 

a x2 + bx + b

ax2

x2

 

a

a,   b yc son coeficientes numéricos de los respectivos

a

x2

bx

x

b

a

x

c

c

c

 

4xy+1

 

4xy

 

4

xy

4 es el coeficiente numérico de 4xy

x

4y

y

4x

1

1

Por ser único elemento no tiene otro coeficiente

1 es coeficiente numérico

 

 

 

 

 

 

 

Se considera términos semejantes aquellos términos que se diferencian de su coeficiente numérico.  En este caso los términos se pueden reducir a un solo término.

El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. El grado de una constante es cero.

 

Expresión algebraica

 

Grado de la expresión

 

10x4z *

     

 

Quinto grado

 

 

10x4z  + 1

 

Quinto grado

 

2x3y5

 

Octavo grado

1

 

Por ser una constante tiene grado cero

 

 

Una parte importante en el lenguaje algebraico es la distinción entre lo que es una identidad y lo que es una ecuación. Mientras que para una identidad formada por  dos expresiones separadas por una igualdad, donde para cada valor de su variable se cumple su igualdad, para las ecuaciones solo se cumplirá la igualdad para ciertos valores de la expresión.

Ejemplos:

Expresión

 

Identificación

Sen2t  + Cos2 t = 1

Identidad

X2  - 6x + 7 = 0

Ecuación

A2 + B2  =C2

 

Ecuación

4x /(2x-y+y)= 2

 

Igualdad

 

Cuando sustituimos en las expresiones algebraicas en lugar de las letra o símbolos números el resultado se llama valor numérico. Una expresión algebraica puede tomar una infinidad de valores numéricos, dependiendo de los valores numéricos que les demos a las letras por esa razón a las letras que aparecen en las expresiones algebraicas se les llama variables.

 

Signos de agrupación de términos.

 

Para agrupar  términos o expresiones algebraicas se utilizan los paréntesis (), los corchetes [], o las llaves {}; generalmente las expresiones contenidas entre paréntesis se consideran como una sola cantidad. No existe una regla para dar importancia a un tipo de paréntesis con respecto a los otros, sin embargo, es usual utilizar los paréntesis () como los paréntesis para expresiones interiores, después los paréntesis [] y finalmente {}.

 

Ejemplo:

 

{3x[4zx(x+y)+w]}

 

 

¿Cuándo suprimir signos?

 

En ocasiones se requiere de quitar los símbolos de agrupación para lo que se tienen algunas normas:

 

Cuando una expresión algebraica esta agrupada mediante un paréntesis y este esta precedido de un signo positivo se puede quitar el paréntesis sin modificas los términos de la expresión. Por el contrario si  el paréntesis esta precedido de un signo menos, se puede quitar el paréntesis cambiando el signo a cada uno de los términos.

Ejemplos:

 

Expresión algrebraica con agrupaciones

Expresión algrebraica sin agrupaciones

 

+( 9x + b)

 

9x + b

 

2yz +(m - n)

 

2z + m – n

 

18x -( 2r + k –n )

 

18s – 2r – k + n

 

 

 

 

Cuando una expresión cuenta con mas de un paréntesis que agrupa expresiones, se comienza por los paréntesis interiores hasta llegar a los exteriores.

 

Ejemplos:

Expresión algrebraica con agrupaciones

Expresión algrebraica sin agrupaciones

(7x - (5y + 1)) + t

(7x – 5y -1)+ t =  7x – 5y + t -1

8 -((4xy)- (3xz + y))

8 - (4xy -3xz - y)) = 8 - 4xy + 3xz + y

{[(2x+1)- (xy-1)]+2xz}

{[(2x+1) - (xy-1)]+2xz}=

{(2x+1) - (xy-1)+2xz}=

{2x+1 – xy +1+2xz}=

 2x+1 – xy + 1+ 2xz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C).- Exponentes

 

 

Potencia de Exponente Positivo. Si “n”  es un entero positivo, an representa el producto de n factores  “a”.  Ejemplo b3= bxbxb. En la expresión algebraica an, a es la base y n  la potencia enésima de a.

 

La notación exponencial  nos permita simplificar la escritura, así por ejemplo, es más fácil escribir 25  que 2x2x2x2x2, sin  embargo, también es conveniente saber que significa 23/5 o 2-5 , a continuación se definirá los exponentes enteros y racionales:

 

Propiedades de los exponentes:

Para números reales y como bases y exponentes y

 

I.

II.

III.

IV.

V.

 

 

¿Qué sucede si para la propiedad II m=n?

 

Tendríamos:

 

por lo que por definición tomaremos:

 

a0=1

 

 

todo número elevado a cero es igual a uno.

 

Ejemplos: 20=1, 100000=1,  (1/5) 0=1

 

Como podemos ver otra manera de ver la expresión anterior es la siguente:

 

 

lo que nos hace definir:

Cuadro de texto:
 

 

 


Las propiedades se pueden demostrar de manera inmediata, por ejemplo, demostraremos la propiedad I.

 

 

m factores

 

n factores

m + n factores

 

=

 

 
 

 

 

 

 


Para el caso de los exponentes racionales se requiere además de las propiedades anteriores las siguientes definiciones:

Definición:

La raíz n-ésima de , denotada por  o  es:

I.a   La raíz n-ésima positiva de  si es positivo.

II.a   si .

III.a La n-ésima raíz negativa de es negativa y es necesariamente es impar.

 

 

Ejemplos:

 

321/5 =((2) 5)1/5=25/5=2

(-4) ½ no se puede obtener ya que no define un número real. Sin embrago, como mencionamos en la propiedad III.a  (-27) -1/3=3 debido a que  como se describe en la propiedad III.a.