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Método de Mínimos Cuadrados.

 

Sea la línea recta de la forma

cuya esperanza para la variable esta definida como:

donde la media del error es igual a cero.

 

Nota: Aunque se acostumbra utilizar letras griegas para describir las relaciones paramétricas entre variables, es decir, como hemos observado del teorema mostrado para este método,  se puede expresar , sin embargo en este caso optaremos por utilizar las letras que es mas familiar en el manejo de la ecuación de una línea recta.

 

El método consiste en considerar las mínimas desviaciones que se tienen  con respecto a la mejor aproximación, por lo que pudiéramos considerar las desviaciones que se generan con respecto al eje  de la vertical. Sean las coordenadas  las de puntos sobre la línea de aproximación, o también llamada recta de regresión y sean los puntos de la muestra a considerar de coordenadas  por lo que las desviaciones verticales con respecto a los puntos las podemos expresar de la forma  a las que en ocasiones se les conoce como error.

 

  

 

Podemos considerar que para cada punto  se le puede asociar una línea  cuya ecuación este descrita por . Por  otro lado necesitamos minimizar las desviaciones ,  lo que se puede lograr si consideramos la suma de los cuadrados de las desviaciones, es decir, la suma

 

pero considerando la expresión para las variables  la suma se transforma en

 

por lo que si queremos considerar los mínimos estos deberán de ocurrir para el caso en que la derivada de la suma con respecto a los parámetros sea igual a cero. Es decir, 

 

En ambas ecuaciones se observa que la derivada parcial puede conmutar con la sumatoria, es decir, puede aplicarse la derivada a la expresión y después la sumatoria, esto debido a que la suma se realiza con respecto a la variable i y no con respecto a  . Tomando en cuenta esta consideración la primera derivada da como resultado:

 

 

para la segunda expresión:

 

 

como ambas ecuaciones se tienen que satisfacer al mismo tiempo podemos considerar la solución de ambas. Distribuyendo la suma el sistema de ecuaciones es igual a

 

 

solucionando para  a través de la aplicación de la regla de cramer.

 

vemos además que el valor de  se puede obtener directamente lo que nos lleva a la expresión

 

lo que puede simplificar  los cálculos, obteniendo primeramente la media de los datos y el parámetro .

 

Un aspecto histórico

 

Otra expresión para las ecuaciones