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Mediana para datos no agrupados

 

La mediana de un conjunto finito de valores es aquel valor que divide al conjunto en dos partes iguales, de forma que el número de valores mayor o igual a la mediana es igual al número de valores menores o igual a estos. Su aplicación se ve limitada ya que solo considera el orden jerárquico de los datos y no alguna propiedad propia de los datos, como en el caso de la media.

 

 A continuación se muestran los criterios para construir la mediana. Se puede construir los siguientes criterios:

 

  • Lo primero que se requiere es ordenar los datos en forma ascendente o descendente, cualquiera de los dos criterios conduce al mismo resultado.

Sean ordenados lo datos en orden ascendente

 

  • Si el número de valores es impar, la mediana es el valor medio, el cual corresponde al dato .
  • Cuando el número de valores en el conjunto es par, no existe un solo valor medio, si no que existe dos valores medios, en tal caso, la mediana es el promedio de los valores, es decir, la mediana es numéricamente igual a

 

Podemos describir algunas propiedades para la mediana:

 

1.- Es única.

2.- Es simple.

3.- Los valores extremos no tienen efectos importantes sobre la mediana, lo que si  ocurre con la media.

 

La notación mas usual  que se utiliza para representar a la mediana es ,  o Me

 

Ejemplo:

 

Dados los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3  para la obtención de la mediana se deberán de ordenar. Tomemos el criterio de orden ascendente con lo que, tendremos:

 

0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2,  3, 3, 3  4, 4,

 

por otro lado el número de datos es igual a 15 datos, siendo el número de datos impar se elige el dato que se encuentra a la mitad, una vez ordenados los datos, en este caso es 1.

 

 

La mediana para datos agrupados.

 

La extensión para el cálculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a continuación:

 

 

Donde:

Md = Mediana.

Li = Limite inferior o frontera inferior de donde se encuentra la mediana, la forma de calcularlo es a través de encontrar la posición . En ocasiones en el intervalo  donde se encuentra la mediana de conoce como intervalo mediano.

n = Número de observaciones o frecuencia total.

 = frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano.

= Frecuencia del intervalo mediano.

A = Amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana .

 

Geométricamente la mediana se encuentra en el valor X que divide al histograma en dos partes de áreas iguales.

 

 

 

Ejemplo:

 

Retomemos la tabla del ejemplo mostrado para determinar la media de atenciones médicas  brindadas por el hospital, adicionando la columna de la frecuencia acumulada

 

Tabla de frecuencias reportadas por la clínica

Clases

(Datos en años)

Punto medio de cada clase

Frecuencias de cada clase

Frecuencias acumulada

15

8

8

25

20

28

35

14

42

45

8

50

55

2

52

65

2

54

75

1

55

 

55 enfermos atendidos

 

 

Determinemos el dato medio de los datos, como n = 55 entonces  n/2=27.5  

El intervalo mediano o la clase donde se encuentra la mediana se encuentra en la segunda clase.

sustituyendo en la ecuación tendremos

    

por lo que se puede concluir que el 50% de las personas atendidas en un fin de semana por el hospital tienen una edad inferior a los 29.75 años.