CIE EXORDIO CERO MAYA LIBRO LIBRE HUATAPERA PROFESOR ESCRITOR
                          












 



 


     

 

 

 

 

 










.

 

En la sección anterior se ha agrupado la información y además se ha dado una descripción de la interpretación de la información, sin embargo en ocasiones estamos interesados en interpretar que tan dispersos están los datos, encontrar un valor representativo que represente a toda la información. En los siguientes renglones construiremos medidas que permitan determinar que parámetros utilizar para representar a un conjunto iniciaremos por una de las medidas mas comunes dentro de nuestra cotidianidad como lo es la media o también conocido como media aritmética o valor promedio.

 

 

Media

   Datos no agrupados

   Datos agrupados

 

 

 

Este parámetro lo usamos con tanta cotidianidad que nos será muy familiar, aunque también aprenderemos algunas propiedades y mostraremos un teorema sumamente importante.

 

Si tenemos el siguiente conjunto de datos y deseamos encontrar un valor  que represente a todo el conjunto, seguramente lo primero que vendrá a nuestra mente es sumar todos los valores y dividirlos entre el número total de datos.

 

10, 9, 8, 10, 9, 9, 10, 9, 10, 9

 

es decir, un valor representativo del conjunto de valores es

 

 

 

Este valor, promedio aritmético, es conocido como la media y es una de las medidas de tendencia central ya que representa un valor con respecto a toda la información.

 

Para  denotar la media de una población utilizaremos  y  cuando se trate de la media de una muestra.

 

Generalizando sobre el ejemplo podemos decir  que la media de una muestra es igual a

 

En ocasiones, en algunas áreas es común denotar la media por  en lugar .

 

Para un conjunto de datos la media aritmética nos muestra una geometría interesante como lo podemos observar en el siguiente teorema:

 

Teorema. La suma de las diferencias de los datos y la media nos representa un promedio simétrico de la información, es decir, se cumple la siguiente relación:  

 

La demostración es la siguiente

 

 

como la media es una constante y además la suma se supone con respecto n valores entonces

 

empleando la definición de la media

 

tendremos:

 

es además obvio pensar que también la relación  se cumple.

Esta propiedad limita el hecho de poder obtener promedio sobre las desviaciones  por lo que las construcciones  de los términos deberá de hacer a través de otro tipo de análisis. Sin perder de vista alguna relación sobre algún promedio de las desviaciones podemos considerar dos posibilidades, una primera posibilidad es considerar el promedio de  la suma de los cuadrados de las desviaciones, una segunda posibilidad es considerar el promedio de la suma del valor absoluto de las desviaciones. A la primera la llamaremos varianza y  a la segunda desviación absoluta media. Las cuales serán consideradas como mediadas de dispersión, debidas precisamente a su naturaleza y que  serán a bordadas en la sección de medidas de dispersión.

 

Ejemplo para el cálculo de la media.

 

Sean los siguientes valores las calificaciones la asignatura de matemáticas  de estudiantes de primer año:

10

8

6

7.5

7

7.5

8

9.5

10

10

8

6

9

10

7.5

6

9.5

10

6.5

8

6

6

9

10

7

8

9.5

5

8

7.5

 

Sumando los valores de las  30 calificaciones y dividiéndolas entre los 30 datos obtendremos:

 

 

por lo que la media de calificaciones obtenida por el grupo considerado es igual a 8.

 

Podemos comprobar el teorema con las calificaciones presentadas, a continuación se presenta la tabla de diferencias

 

8-10=-2

8-8=0

8-6=2

8-7.5=0.5

8-7=1

8-7.5=0.5

8-8=0

8-9.5=-1.5

8-10=-2

8-10=-2

8-8=0

8-6=2

8-9=-1

8-10=-2

8-7.5=0.5

8-6=2

8-9.5=-1.5

8-10=-2

8-6.5=1.5

8-8=0

8-6=2

8-6=2

8-9=-1

8-10=-2

8-7=1

8-8=0

8-9.5=-1.5

8-5=3

8-8=0

8-7.5=0.5

 

Observamos que efectivamente se puede ver de manera inmediata que   como fue demostrado en el teorema.

 

Un teorema a considerar es el siguiente, el cual nos indica como cambia la media cuando a cada variable la trasladamos una constante, es decir, para cada medición  le sumamos una cantidad, .

 

Teorema. La media de  al ser traslada o remplazada por una cantidad constante para cada una de las medidas se modifica de la forma

 

Demostración. Sea una muestra de n mediciones    a las que se les remplaza sumándoles una cantidad c, es decir, , por lo que al obtener la media  para  tenemos

 

lo que demuestra el teorema.

 

Para datos agrupados la expresión de la media cambia ligeramente, como se muestra a continuación

 

Media para un conjunto de datos agrupados.

 

La media para datos agrupados es la siguiente:

 

donde  es el total de datos, m el número total de clase y  es la frecuencia de datos.

 

La definición es claramente entendida como una extensión de la definición que dimos para datos no agrupados, ya que es lógico suponer que datos  que se repiten con una frecuencia  pueden simplificar la suma  por , por supuesto que los índices de la segunda suma con respecto a la primera corren con respecto a menor número, es decir, con respecto al número de agrupamientos m

 

Ejemplo:

 

Sean los siguientes datos 1, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 2, 1. La media para dichos datos es aproximadamente igual a  2.4666, es decir,

 

 

Sin embargo, el mismo resultado podemos obtener si tomamos la frecuencia con que aparecen los datos, en este caso:

 

 

 

Dato

Frecuencia

Producto de frecuencias y datos

1

4

4

2

5

10

3

2

6

4

3

12

5

1

5

 

 

La obtención de la media finalmente se convierte en

 

 

para la obtención de la media cuando las frecuencias están sujetas a la elección de clase bajo los métodos mostrados, se realiza de igual manera, la única diferencia existe en determinar  el valor  como el punto medio de cada clase, veamos el siguiente ejemplo.

 

Supongamos que una clínica de salud, obtiene una tabla de edades de las personas que son atendidas en un fin de semana, para los que presentan la siguiente tabla. ¿Cuál será el promedio de edades de los enfermos que acudieron a recibir atención médica?

 

 

Tabla de frecuencias reportadas por la clínica

Clases

(Datos en años)

Punto medio de cada clase

Frecuencias de cada clase

15

8

25

20

35

14

45

8

55

2

65

2

75

1

 

55 enfermos atendidos

 

 

Por lo que el promedio de personas a las que se les dio servicio es de: