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Soluciones exactas

 

Veamos una ecuación simple  la cual al integrar nos conduce a xy=c

 

Para abordar el concepto de soluciones exactas, tomemos una función z=f(x,y) en derivadas parciales de primer orden continua en la vecindad R de xy tal que la diferencial total dada es  

Si tomamos una familia de curvas constantes f(x,y)=c la ecuación diferencial se reduce a   , estas consideración nos conduce a la siguiente conclusión: dada una familia de curvas f(x,y)=c  es posible generar una ecuación diferencial de primer orden para calcular la diferencial total.

 

Definición de ecuación diferencial exacta

 

Se dice que una expresión diferencial

 es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna función f(x,y) una ecuación

se dice que es exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta.

 

Veamos los siguientes ejemplos:

 

es una ecuación diferencial exacta ya que la ecuación se puede expresar como

 

la expresión

es una ecuación diferencial exacta ya que

Sin embargo, para obtener la solución no siempre es fácil obtener la expresión que se pueda expresar como una expresión diferencial total, más sin embargo mediante el teorema que a continuación se enuncia encontrar dicha expresión no resulta tan complicado.

 

Teorema. Sea M(x,y) y N(x,y) funciones continuas, así como sus derivadas de primer orden , dentro de la región R del plano xy. Entonces una condición necesaria y suficiente para que

sea una diferencial exacta es que

Continúa un método de soluciones de las ecuaciones diferenciales exactas