CIE EXORDIO CERO MAYA LIBRO LIBRE HUATAPERA PROFESOR ESCRITOR
                          












 



 


     

 

 

 

 

 










.

Integrales de línea, de superficie y de volumen

Integrales de línea

Integrales de superficie

Integrales de volumen

Aplicaciones de las integrales (teorema de Gauss)


Integrales de línea

 

En el curso de análisis vectorial hemos definido los elementos diferenciales que fueron presentados sobre trayectorias, en particular hablamos de las coordenadas lineales:

 

 

En coordenadas cartesianas los elementos de línea están definidos como:

 

 

 

 

En coordenadas cilíndricas  el elemento de línea esta definido como:

 

 

 

 

En coordenadas esférica

 

 

 

 

Ejemplo:

Encuentra la fuerza total que actúa sobre un alambre circular en forma de anillo localizado en el plano xy centrado en el origen, la densidad de la fuerza es constante en la componente (de las coordenadas polares), considere además un radio de un metro.

 

 

 

 

Solución:

 

Considerando la integración como una forma de obtener la suma de todas las fuerzas que se producen en el anillo, consideremos además que una diferencial de longitud estará dada por

 

 

 

por consiguiente la integral de línea nos indica que la fuerza total es igual a cero.


 

 

Integrales de superficies

 

Una superficie  en el espacio o espacio tridimensional se forma por un conjunto de puntos cuyas coordenadas son independientes. Las integrales de superficie de campos vectoriales y escalares, se utilizan de acuerdo a la función que define la superficie a analizar.

 

 

Las integrales de superficie de funciones vectoriales en coordenadas cartesianas guardan una analogía con las integrales de línea, por ejemplo:

 

 

 

 

donde la integración de la superficie se da como

 

 

   y la s indica que se integra sobre la superficie, si la integración es sobre una superficie cerrada se representa con el símbolo:

 

 

 

si la integración no es cerrada también representaremos la integración sobre una superficie de la siguiente forma:

 

 

en este las diferenciales dependerán de los elementos de los elementos de línea utilizado para la superficie a analizar.

 


Nota: Al igual que la integración para una superficie  cerrada también se define la integración sobre trayectorias de líneas cerradas, dadas como:

 

 

La integración de superficie en coordenadas cilíndricas y esféricas no pueden descomponerse en las integraciones de sus coordenadas, como en el caso anterior, para coordenadas cartesianas. La integración de en este tipo de coordenadas generalmente están asociadas al caso en que una de las coordenadas es constante y las otras dos cambian.

 

 

Por ejemplo,  en coordenadas  cilíndricas podemos tener z constante o constante, así como superficies donde  . En el caso particular en que z es constante, estos representan planos horizontales y el elemento de área se determina

 

 

La integración de superficie en coordenadas cilíndricas y esféricas no pueden descomponerse en las integraciones de sus coordenadas, como en el caso anterior, para coordenadas cartesianas. La integración de en este tipo de coordenadas generalmente están asociadas al caso en que una de las coordenadas es constante y las otras dos cambian.

 

 

Por ejemplo,  en coordenadas  cilíndricas podemos tener z constante o constante, así como superficies donde  . En el caso particular en que z es constante, estos representan planos horizontales y el elemento de área se determina del producto de diferenciales que se originan para al variar . De esta forma   o

 


Integrales de volumen

 

 El desarrollo de las integrales de superficie de línea y de superficie  nos lleva a la extensión de las integrales de volumen donde F(r) es un  campos escalares, donde V es el  volumen a considerar. De manera análoga a la representación de campos escalares, podemos integrar funciones de campos vectoriales, por ejemplo

 

 

 

 

como en el caso de las integrales de superficies y de línea, en otras coordenadas distintas a las cartesianas el proceso no es tan directo.