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Integración por fracciones parciales.

Es común, que en ocasiones  encontremos la integración de una fracción de polinomios  en el que  el grado del denominador es mayor que el del numerador, lo cual no es un resultado que pueda obtenerse de manera inmediata. En el caso contrario, basta con hacer la división entre polinomios  que no necesariamente es fácil pero que conduce a generar una función racional entera. La integración de este tipo de expresiones diferencial a menudo requiere obtener fracciones racionales mas simples para su integración. El teorema fundamental del álgebra  es esencial en el desarrollo de métodos que tiendan a solucionar este tipo de problemas.

 

Una expresión del teorema fundamental del álgebra es la siguiente:

 

Teorema fundamental del álgebra. Cualquier polinomio con coeficientes reales de grado n tiene n raíces, las cuales son reales o complejas. En el caso de existir raíces reales siempre existen en pares, es decir, la raíz y su complejo conjugado.

   

Sea construido un teorema que recoge los elementos del teorema fundamental del álgebra, este agrupa en las aplicaciones a la solución de integrales:

 

 

Teorema:

La integral de toda función racional en la que el denominador se puede descomponer en factores reales  de primero y segundo grado puede solucionarse una vez que la función racional se expresa en sumas y restas de funciones elementales.


Fracciones parciales

 

1er caso.  Todos los factores del denominador son de primer grado.Si no se repiten los factores la descomposición en fracciones parciales es de la forma:

 

 Ejemplos resueltos 

en el caso que uno de los factores se repita n veces tendremos que desarrollar para ese caso una descomposición de la siguiente forma:

   

Ejercicios resueltos


Segundo caso. El denominador tiene factores de segundo grado.

De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, si los factores son de la forma   y además no se repiten, a todo factor corresponderá una fracción parcial de la forma:

 

  Ejercicios resueltos

Un caso particular es el análogo al caso lineal en el que llega a aparecer una raíz mas de una vez, en este caso pensar que un polinomio de segundo grado puede repetirse n veces, a lo cual corresponderá la suma de n fracciones parciales de la forma: