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Trabajo y potencial eléctrico

Trabajo eléctrico

Potencial eléctrico

Potencial de una distribución de carga, volumetrica, lineal y de superficie

Forma diferencial del campo

Problemas de potencial eléctrico


Trabajo eléctrico

 

Si sometemos una carga puntual ante la presencia de un campo eléctrico, la carga experimentara una fuerza eléctrica:

 

Sin embargo, si requerimos de establecer un equilibrio para la partícula o desplazar las partícula con velocidad constante se requiere de otra fuerza que contrarreste el efecto la fuerza generada por el campo eléctrico, esta fuerza deberá tener la misma magnitud que la primera, pero dirección contraria, es decir:

 

 

Partiendo de la definición clásica de trabajo, sabemos que el trabajo se define como el producto de una fuerza que actúa a distancia. Así, en este caso, se realizará un trabajo para trasladar una fuerza de un punto a otro. De tal forma que al aplicar un pequeño desplazamiento dl  se generara un diferencial de trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo realizado por la partícula realizara un trabajo positivo o negativo dependiendo de cómo sea el desplazamiento  en relación con la fuerza Fa . Un diferencial de trabajo queda expresado como:

 

  

 

   

Nótese que en el caso de que la fuerza no este en la dirección del desplazamiento, debemos solo multiplicar por su componente en la dirección del movimiento. Como en la definición propia del trabajo se tiene un producto escalar, el producto Fa  es justificado, es decir, la proyección de Fa sobre el vector desplazamiento.

 

Retomando el trabajo positivo y negativo, será considerado como un trabajo positivo aquel trabajo realizado por un agente externo al sistema carga-campo para ocasionar un cambio de oposición. En el caso que el trabajo tenga un signo negativo se deberá de interpretarse  como el trabajo realizado por el campo.

 

Recordemos que los diferenciales de línea pueden ser expresados como:

 

 

 

Sustituyendo la fuerza en función del campo tendremos:

 

 

por lo tanto podemos expresar el campo por:

 

si el trabajo  que se realiza en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero entonces se dice que estamos en presencia de un campo eléctrico conservativo.

 

 

lo que también es equivalente a decir que el rotacional del campo eléctrico es igual a cero:

 

 


 

Potencial eléctrico

 

Se define el potencial se define como el trabajo realizado para trasladar un objeto de un punto a otro. En particular, para el caso eléctrico, definimos el potencial eléctrico del punto  A al punto B, como el trabajo realizado para trasladar una carga positiva unitaria q de un punto a otro, desde B hasta A.

 

 

 

las unidades para el potencial eléctrico son de (Joules/Coulombs o Volts). Nótese además que el trabajo que hemos sustituido en la ecuación proviene de la construcción de trabajo eléctrico.

 

Si consideramos que hemos construido la  noción de potencial eléctrico en base a la construcción de un campo conservativo, esto del hecho de suponer una fuerza que tienda a contrarrestar la fuerza del campo para mantener la partícula cargada en equilibrio estático.

Analicemos el potencial eléctrico necesario para desplazar una carga puntual desde un punto B a un punto A.

Recordemos primero que el campo de una carga puntual esta determinado en forma radial como se muestra a continuación, sin embargo, recordemos que el hecho de haber tomado un campo conservativo le resta importancia a ese hecho.

 

 

*   

 

sustituyendo en la ecuación que define al campo eléctrico tendríamos:

 

Obsérvese que se ha tomado el diferencial de línea de las coordenadas esféricas.

El potencial de una distribución de carga

  Cuando existe una distribución de carga en un volumen finito con una densidad de carga conocida entonces puede determinarse el potencial en un punto externo, esto por que la definición de potencial involucra el campo eléctrico.

 

Si analizamos el potencial originado por cada diferencial de carga tendremos:

 

 

 

 

 

 

Finalmente podemos integrar sobre todo el volumen para obtener:

 

 

Nótese que la variable R es la distancia a al punto con respecto a cada diferencial de volumen en cada punto del objeto cargado y por tanto depende de las coordenadas, lo cual implica el hecho de no poder sacarlo de la integral. No deberá de confundir la variable r con la variable R.

 

De manera similar podemos encontrar el potencial eléctrico de cualquier distribución, bien sea de línea o de superficie y que puede ser expresados como:

 

Para configuraciones de superficie:

 

 

Para configuraciones de línea:

 

donde  es la densidad superficial, es la densidad lineal.

 


Forma diferencial del potencial eléctrico

Recordamos que el potencial eléctrico puede ser expresado como:

 

También recordemos que el diferencial de una función se puede expresar como:

 

 

 por lo que un diferencial de un potencial eléctrico puede ser expresado como:

 

 

 

Si sacamos el diferencial al potencial en la ecuación que relaciona con el campo eléctrico tendremos:

 

pero  y por último si consideramos que para tenemos un desplazamiento pequeño tendremos: