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Elementos diferenciales de línea, de superficie y de volumen

 

Hemos aprendido como se identifica un punto en el espacio en los diferentes sistemas de coordenadas, cartesianas, cilíndricas y  esféricas. En esta sección haremos uso de los resultados obtenidos y del cálculo diferencial para definir los elementos diferenciales de línea, de superficie y de volumen.

Reconocemos que al determinar las coordenadas de un punto P  en cualquier sistema   construyendo un diferencial de volumen dV

 

 

Para el caso de coordenadas cartesianas

 

 

el elemento de volumen, se determina del volumen del paralelepípedo, lado,lado, lado, en este caso es:

 

 

el elemento diferencial de superficie depende de que lado se tome, por lo que tendremos los siguientes:

 

 

Analicemos el  diferencial de línea, es fácil ver que como lo que estamos determinando es un diferencial, se realiza encontrando la magnitud del vector en tres dimensiones:

 

 

su diferencial de linea vectorial puede ser expresado por:

 

Para el caso de coordenadas cilíndricas

 

 

 

 

el elemento diferencial  de volumen, se del paralelepípedo formado, para este caso:

 

 

el elemento diferencial de superficie depende del lado que se requiera analizar así por ejemplo tendremos:

 

 

hemos puesto subíndices, para indicar el diferencial se superficie, para mostrar la relación del área elegida, sin embargo en la práctica es común solo escribir dS y se sobre entiende, por el contexto de la operación de que elemento de superficie se trata.

 

Para determinar el elemento diferencial de línea tendremos:

 

cuya magnitud es:

 

Nota: Recodemos que:

 

 

coordenadas esféricas

 

 

 En el caso de las coordenadas esféricas, al igual que en el caso de las coordenadas cilíndricas, se puede considerar que el elemento de volumen tomado, por considerarse diferencial, forma un paralelepípedo, razón por la cual su elemento diferencial de volumen quedara determinado como:

 

 

El caso del elemento diferencial de superficie se determina dependiendo del las superficie a analizar

 

 

el elemento diferencial de línea queda determinado por:

 

 

y su magnitud por:

Nota: Se debe considerar que:

 

 

El uso de los elementos de línea y de superficie toma un lugar especial dentro del electromagnetismo en el uso de teoremas de Gauss y el de Stokes para analizar la carga total contenida en un cuerpo o el flujo de corriente eléctrica, respectivamente, solo por mencionar dos partes donde se hará uso de estos recursos.    

 

Diferencial de una función 

Un elemento diferencial de una función  f(x1,x2,x3,......,xn) de varia variables puede ser expresado como:

 

Para una función de tres dimensiones f(x,y,z) podemos determinar el diferencia como:

 

 

Relacionando este resultado con el operador nabla

 

 tenemos:

 

 

donde