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La derivada del extremo. Sea una función f continua en algún intervalo [a,b]. Por ser continua es derivable. Es intuitivo pensar que si la función esta definida en tal intervalo entonces también debe de haber un máximo para dicha función. Es decir
para todo x en [a,b]. Podemos además decir que si c no es ni a ni b, es decir si c esta en el intervalo abierto (a,b), entonces el gráfico será el siguiente:
Resulta lógico entonces suponer que la tangente al gráfico en (c,f(c)) es paralelo al eje x .
Sin embargo, si el máximo se encuentra en un punto terminal, a o b entonces la derivada no tiene por que ser igual a cero.
Cuando el punto máximo o mínimo ocurre en un punto interior del intervalo podemos hacer referencia al siguiente teorema: Teorema del extremo interior Sea f una función definida al menos en un intervalo abierto (a,b). Si f toma un valor extremo en un punto c de ese intervalo y si existe f´(c) entonces f´(c) = 0 Para construir el concepto de máximo o de mínimo es necesario construir la definición de cuerda de f . Definición de cuerda de f. Un segmento que une dos
puntos del gráfico de una función f se le llama cuerda de f.
Podemos observar, nuevamente de manera intuitiva que si existe al menos una tangente horizontal. Por ello presentamos el siguiente enunciado conocido como el teorema de Rollo (matemático del siglo XVII) Sea f una función sobre un intervalo cerrado [a,b], con derivadas en todo x del intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un punto c en (a,b) tal que: f´(c) = 0 Ejemplo: Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x 2+1 en el intervalo cerrado [-1,1]. Primero sabemos que la función, con dominio todos los números reales, y derivable en todo punto.
la derivada de esta función es: f´(x)=2x
lo que nos conduce a obtener la posición en la que f´(x)=0. f´(x)=2x=0 entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho intervalo. El presente teorema permite realizar una generalización del teorema de Rolle. Como se había mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al eje de las x´s. Sea f una función continua en algún intervalo cerrado [a,b], y derivable en (a,b). Entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a,b) tal que:
Nota: Esta idea intuitiva es muy similar a la generada para construir el concepto de derivada, a través del concepto de Leibnitz.
en el gráfico (a,f(a)) y (b,f(b)) son puntos terminales de la cuerda, mas objetivamente si la cuerda y la tangente son paralelas entonces, ambas tienen la misma pendiente y basta con observar la pendiente en una de ellas para determinar el valor de la derivada. Por ejemplo observemos el triangulo formado:
Ejemplo: Verificar el teorema del valor medio para f(x)=x2+2x+1 para a=1 y b=2 f(1)=12+2+1=4 y f(2)=22+2(2)+1=9 De acuerdo al teorema del valor medio hay al menos un número
c entre a=1 y b=2 tal que:
Encontremos explícitamente el valor de la derivada f’(x)=2x+2 lo que conduce a resolver la ecuación: f´(x)=
2x+2 =
5 por lo que en x =3/2 por lo que existe un valor c para el que se cumple el teorema de Rolle. |
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