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Definición de límite de f(x) en a informal. Ejercios resultos con la definición informal Definición
precisa de
Ejercicio resuelto con la defición formal En muchas ocasiones algunas
frases conducen de manera intuitiva a la definición de limite, tales como:
“Se aproxima a un número específico”, “x se aproxima hacia a”, “f(x)
se hace arbitrariamente grande”. Desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a
través de los Bernoulli, Euler y Gauss en el siglo VIII y hasta principios del
siglo. Sin embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva
de límite necesitaba de librarse de su origen “los objetos móviles” y
simples gráficas. Fue Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856 quien desarrollo un
método para definir los límites si hacer alusión a lo anterior. Desde
entonces este método ha sido usado tanto por matemáticos puros y aplicados Weierstrass. De manera informal el límite se
define de la forma siguiente:
Definición
de límite de f(x) en a informal. Sea f(x)
una función y a un número fijo. Supongamos que el codominio de f
contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún número
c<a y algún número b>a, como en la figura (G.1).
Si al aproximarse x hacia a,
tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es equivalente a decir
que existe tanto el limite de la función tanto por la izquierda como por la
derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se
llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a. Lo cual se representa de la
siguiente forma:
Haga
click para ir a la sección de ejemplos y ejercicios Entonces podemos determinar los
limites para algunas funciones. Una reformulación aun todavía informal es la siguiente: Sean los números c y b, c<a<b, tales que f(x) está definida para todos los x en el intervalo (c,a) y todos los x en el otro intervalo (a,b). Si x es suficientemente próximo a a pero no exactamente a. Definición
precisa de
1ero Existe un número c tal que f(x) está definida para todo x>c 2 odo Para
toda solución E existe un número D tal que para todo x>D tal
que para todo x>D se cumple f(x)>E Ejemplos
del uso de una definición precisa sobre el limite: 1.- Usando una definición
precisa probar que
Solución: Sea E cualquier número. Debemos probar que existe un D tal que siempre x>D, se verifique 2x>E. Que es el equivalente a decir que para todo número E, debemos probar que siempre se cumple que f(x) >E , dado que x>D. Por ejemplo, si E=100, basta con D=50. Como podemos darnos cuenta si x>50 entonces 2x>100. El número dependerá de E Ahora bien la desigualdad 2x>E equivale a
En otras palabras, si
entonces 2x>E.
Luego
Esto
es, para x>D (con
inmediatamente que
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