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Una de las consideraciones en las que se requiere encontrar el máximo de una función es el caso en el que la función esta acotada en un intervalo cerrado (aplicación práctica de muchas áreas del conocimiento: en física, en economía, en farmacia, en química, etc...) El punto máximo puede encontrarse, lógicamente, en cualquier punto interior c del intervalo (a,b), pero también se puede encontrar en un punto extremo de la función. En el caso que el máximo global se encuentre en el interior del intervalo la derivada de la función en ese punto es igual a cero. En el caso en que la función se encuentre en uno de los extremos, la derivada de la función no tiene por que ser igual a cero en ese punto. Un juicio similar se puede admitir para el valor mínimo.
Luego entonces podemos concluir que el punto máximo de una función f derivable en un intervalo cerrado ocurre en una de las dos situaciones siguientes: a).- En un punto terminal del intervalo b).- En un punto crítico, es decir, f´(x)=0. Ejemplo: Obtener el máximo valor de la función f(x)=x3+x2-x+1
para un valor de la variable x en el intervalo
[-1,1] Para
poder obtener la solución resulta necesario considerar que los valores extremos
de la variable y los puntos donde la derivada se hace cero.
Los valores de la función evaluada en los puntos extremos de la variables son: f(-1)=-13+-12-1+1=
0 f(1)=13+12-1+1=2 su derivada es: f´(x)=3x2+2x-1
analizando sus raíces, es decir, para el caso f´(x)=0 tendremos:
3x2+2x-1 =0 pero como:
Es necesario evaluar la función en ambos valores x=1/3 y x=-1: f(x)=(1/3)3+(1/3)2-(1/3)+1 =22/27 f(-1)=-13+-12-1+1=0 Estos valores están en el rango como podemos observar uno de los valores, el mínimo corresponde a uno de los extremos, sin embargo el valor máximo obtenido, es un valor máximo local ya que el valor máximo es el del extremo, gráficamente tenemos la siguiente situación:
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