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    APLICACIONES DE LA DERIVADA

     Problemas a desarrollar de aplicaciones de máximos y mínimos

    Problemas globales

    1.- Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

     

     

    Solución

     

    Obtendremos los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada.

    Obteniendo la primera derivada de la función y(x), tendremos:

     

     

    obteniendo las raíces de esta ecuación y´(x)=0, por ejemplo, mediante la fórmula de la ecuación cuadrática tenemos:

     

    entonces

     

    sacando la segunda derivada tendremos:

     

     

    evaluando en la raíz x1 en la segunda derivada tenemos:

     

    por lo tanto como la evaluación en x1= -1 es negativa   existe un máximo local y su valor máximo es:

     

     

    lo que equivale a decir que en la coordenada (-1,0) existe un  máximo local

     

     

    Para el punto x2= -1/3 la evaluación para la segunda derivada es igual a: 

     

    y al contrario de la otra evaluación se tiene una cantidad positiva y por tanto existe un mínimo local.

     

    Su mínimo local existe en

    lo que equivale a decir que en las coordenadas (-1/3,-4/27) existe un mínimo local

     

    2.- Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

    Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

     

    encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

    por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

    Evaluando en y´(-0.01) tenemos:

    y´(-0.01)= -0.004

    evaluando para x después de cero tenemos:

    y´(0.01)= 0.004

     

    como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0)