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Problemas a desarrollar de aplicaciones de máximos y mínimos 1.-
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Solución
Obtendremos
los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada. Obteniendo
la primera derivada de la función y(x), tendremos:
obteniendo
las raíces de esta ecuación y´(x)=0, por ejemplo, mediante la fórmula
de la ecuación cuadrática tenemos:
entonces
sacando
la segunda derivada tendremos:
evaluando
en la raíz x1 en la segunda derivada tenemos:
por
lo tanto como la evaluación en x1= -1 es
negativa existe un máximo local y su valor máximo es:
lo
que equivale a decir que en la coordenada (-1,0) existe un
máximo local Para
el punto x2= -1/3 la evaluación para la segunda derivada es
igual a:
y
al contrario de la otra evaluación se tiene una cantidad positiva y por tanto
existe un mínimo local. Su
mínimo local existe en
lo
que equivale a decir que en las coordenadas (-1/3,-4/27) existe un mínimo
local 2.-
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la
primera derivada de la función:
encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto
x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la
pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto. Evaluando en y´(-0.01)
tenemos: y´(-0.01)=
-0.004 evaluando
para x después de cero tenemos: y´(0.01)=
0.004 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0) |
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